Minimum Cut
题目：
给出一张图。要求你删除最小割权和图。
算法分析：
//////////////////// 转载 ——— ylfdrib //////////////////////////////////////////////
一个无向连通网络，去掉一个边集能够使其变成两个连通分量则这个边集就是割集；
最小割集当然就权和最小的割集。
能够用最小分割最大流定理：
1.min=MAXINT,确定一个源点
2.枚举汇点
3.计算最大流，并确定当前源汇的最小割集，若比min小更新min
4.转到2直到枚举完成
5.min即为所求输出min
不难看出复杂度非常高：枚举汇点要O(n)。最短增广路最大流算法求最大流是O((n^2)m)复杂度，在复杂网络中O(m)=O(n^2)，算法总复杂度就是O(n^5)。哪怕採用最高标号预进流算法求最大流O((n^2)(m^0.5))，算法总复杂度也要O(n^4)
所以用网络流算法求解最小割集复杂度不会低于O(n^4)。
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prim算法不只能够求最小生成树，也能够求“最大生成树”。
最小割集Stoer-Wagner算法就是典型的应用实例。
求解最小割集普遍採用Stoer-Wagner算法，不提供此算法证明和代码，仅仅提供算法思路：
1.min=MAXINT。固定一个顶点P
2.从点P用“类似”prim的s算法扩展出“最大生成树”，记录最后扩展的顶点和最后扩展的边
3.计算最后扩展到的顶点的分割值（即与此顶点相连的全部边权和），若比min小更新min
4.合并最后扩展的那条边的两个端点为一个顶点（当然他们的边也要合并，这个好理解吧？）
5.转到2，合并N-1次后结束
6.min即为所求，输出min
prim本身复杂度是O(n^2)，合并n-1次，算法复杂度即为O(n^3)
假设在prim中加堆优化，复杂度会降为O((n^2)logn)
这个Stoer-Wagner算法能够參见这篇paper(http://docs.google.com/fileview?id=0BwxLvD9mcDNtMjk3MWVkMTAtZjMzNi00ZWE3LTkxYjQtYTQwNzcyZTk3Njk2&hl=en), 其核心思想是迭代缩小规模, 算法基于这样一个事实:
对于图中随意两点s和t, 它们要么属于最小割的两个不同集中, 要么属于同一个集.
假设是后者, 那么合并s和t后并不影响最小割. 基于这么个思想, 假设每次能求出图中某两点之间的最小割, 然后更新答案后合并它们再继续求最小割, 就得到终于答案了. 算法过程例如以下:
1. 设最小割cut=INF, 任选一个点s到集合A中, 定义W(A, p)为A中的全部点到A外一点p的权总和.
2. 对刚才选定的s, 更新W(A,p)(该值递增).
3. 选出A外一点p, 且W(A,p)最大的作为新的s, 若A!=G(V), 则继续2.
4. 把最后进入A的两点记为s和t, 用W(A,t)更新cut.
5. 新建顶点u, 边权w(u, v)=w(s, v)+w(t, v), 删除顶点s和t, 以及与它们相连的边.
6. 若|V|!=1则继续1.
看起来非常easy, 每次像做最大生成树一样选最大"边"(注意, 这里事实上不是边, 而是已经累计的权值之和, 就当是加权的度好了), 然后把最后进入的两个点缩到一块就能够了. 合并点最多有n-1次, 而不加堆优化的prim是O(n^2)的, 所以终于复杂度O(n^3), 要是你有心情敲一大坨代码, 还能够在稀疏图上用Fibonacci Heap优化一下, 只是网上转了一圈, 大多都是说能用Fibonacci Heap优化到如何如何的复杂度, 真正能自己写出来的恐怕也没几个, 看看uoregon(俄勒冈大学)的一大坨代码就有点寒. (http://resnet.uoregon.edu/~gurney_j/jmpc/fib.html)
特别注意几个地方, 网上的好几个Stoer-Wagner版本号都存在一些小错误:
1. 算法在做"最大生成树"时更新的不是普通意义上的最大边, 而是与之相连的边的权值和, 当全部边都是单位权值时就是累计度.
2. "最后进入A的两点记为s和t", 网上对s有两种解释, 一是在t之前一个加进去的点, 二是t的前趋节点, 也就是最后选择的那条边的还有一端. 正解是第一种!
3. 对于稠密图, 比方这题, 我用堆, 映射二分堆, 或者STL的优先队列都会TLE, 还不如老老实实O(n^3).
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#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
const int INF = 1 << 30;
const int MAXN = 500 + 10;
int vst[MAXN];
int wet[MAXN];
int combine[MAXN];
int map[MAXN][MAXN];
int S,T,minCut,N;
//最大生成树
void Search(){
int i,j,Max,x,y;
memset(vst,0,sizeof(vst));
memset(wet,0,sizeof(wet));
S = T = -1;
for(i = 0;i < N;++i){
Max = -INF;
for(j = 0;j < N;++j){
if(!combine[j] && !vst[j] && wet[j] > Max)
Max = wet[x = j];
}
if(T == x) return; //有环
S = T; T = x;
minCut = Max;
vst[x] = 1;
for(j = 0;j < N;++j){
if(!combine[j] && !vst[j]){
wet[j] += map[x][j];
}
}
}
}
int Stoer_Wagner(){
int i,j;
memset(combine,0,sizeof(combine));
int ans = INF;
for(i = 0;i < N - 1;++i){
Search();
if(minCut < ans) ans = minCut; //最小割
if(0 == ans) return 0;
combine[T] = 1;
for(j = 0;j < N;++j){ //合并
if(!combine[j]){
map[S][j] += map[T][j];
map[j][S] += map[j][T];
}
}
}
return ans;
}
int main()
{
int a,b,c,M;
while(~scanf("%d%d",&N,&M)){
memset(map,0,sizeof(map));
while(M--){
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
map[a][b] += c;
map[b][a] += c;
}
printf("%d
",Stoer_Wagner());
}
return 0;
}