排序---优先队列

写在前面的话：

一枚自学Java和算法的工科妹子。

• 算法学习书目：算法（第四版） Robert Sedgewick
• 算法视频教程：Coursera  Algorithms Part1&2

本文是根据《算法（第四版）》的个人总结，如有错误，请批评指正。

一、优先队列介绍

    优先队列是0个或多个元素的集合,每个元素都有一个优先权或值,对优先队列执行的操作有1) 插入元素;2) 删除最大（最小）元素.

    在最小优先队列(min priority queue)中,删除操作用来删除优先权最小的元素；在最大优先队列(max priority queue)中,删除操作用来删除优先权最大的元素。

    优先队列的使用和队列（删除最老的元素）以及栈（删除最新的元素）类似，但高效的实现它则更具有挑战性。

    优先队列是一种抽象数据类型，它表示了一组值和对这些值的操作。优先队列（最大优先队列为例）的API设计如下：

     设计优先队列API，我们想实现的功能：输入N个字符串（N非常大），每个字符串都对应着一个整数，目标就是从中找出最大的（或最小的）M个整数及其关联的字符串。在上述API中着重要关注的方法就是插入insert()和删除最大元素delMax().

解决方法：

    1.将输入排序然后从中找出M个最大的元素，但是因为输入元素非常庞大，造成存储空间的浪费；

    2.将每个新的输入和已知的M个最大元素对比，这会导致比较的时间复杂度为NM;

    3.以下会介绍基于堆的优先队列实现，降低时间和空间复杂度。

表1 从N个输入中找到最大的M个元素所需的成本

示     例	时间复杂度	空间复杂度
排序算法的用例（方法一）	NlgN	N
初级实现的优先队列（方法二）	NM	M
基于堆的优先队列（方法三）	NlgM	M

优先队列的初级实现：

1.数组实现（无序）

• 插入操作：和栈的push()方法完全一样；
• 删除操作：添加一段类似于选择排序的内循环，将最大元素和边界元素交换，然后删除，和pop()操作一样；

public class UnorderedMaxPQ<Key extends Comparable<Key>>
{
    private Key[] pq; // pq[i] = ith element on pq
    private int N; // number of elements on pq
    
    public UnorderedMaxPQ(int capacity){ 
         pq = (Key[]) new Comparable[capacity]; 
    }

    public boolean isEmpty(){ return N == 0; }
    
    public void insert(Key x){ pq[N++] = x; }
   
    public Key delMax(){
        int max = 0;
        for (int i = 1; i < N; i++)
            if (less(max, i)) max = i;
        exch(max, N-1);
        return pq[--N];
    }
}

2.数组实现（有序）

• 插入操作：将所有较大的元素向右边移动一个使数组保持有序，类似于插入排序；
• 删除操作：和栈的pop()操作一样；

表2 优先队列的各种事先在最坏情况下运行时间的增长数量级

数据结构	插入元素	删除最大元素
无序数组	N	1
有序数组	1	N
堆	lgN	lgN

 

二、二叉堆的介绍

    在二叉堆数组中，每个元素都要保证大于等于另两个特定位置的元素。从a[k]向上一层就令k=k/2，向下一层就令K=2k或2k+1。一颗大小为N的完全二叉树的高度为lgN向下取整。

 

    堆有序化操作：

（1）由下至上的堆有序化（上浮）   

private void swim(int k) {
   while (k > 1 && less(k/2, k)) {
      exch(k, k/2);
      k = k/2;
   }
}

（2）由上至下的堆有序化（下沉）

private void sink(int k) {
   while (2*k <= N) {
      int j = 2*k;
      if (j < N && less(j, j+1)) j++;
      if (!less(k, j)) break;
      exch(k, j);
      k = j;
   }
}

三、基于堆的优先队列

1.如何实现？

•     优先队列有一个基于堆的完全二叉树表示，存储于数组pq[1..N]中，pq[0]没有使用。
•     在insert()中，我们将N加1并把新元素添加在数组最后，然后用swim()恢复堆的秩序。
•     在delete()中，我们从pq[1]中得到需要的返回元素，然后将pq[N]移动到pq[1],将N减1并使用sink()恢复堆的秩序。
•     同时我们还将不在使用的pq[N+1]设置为null，以便系统回收删除元素所占用的空间，也使用了动态调整数组大小的方法，具体见下压栈（LILO）详解。

2.性能分析

    对于一个含有N个元素的基于堆的优先队列，插入元素操作只需不超过（lgN+1）次比较，删除最大元素的操作需要不超过2lgN次比较，以下是代码实现：

import java.util.Comparator;
import java.util.Iterator;
import java.util.NoSuchElementException;

public class MaxPQ<Key> implements Iterable<Key> {
    private Key[] pq;                    // 完全二叉树
    private int n;                      // 优先队列中元素数目
    private Comparator<Key> comparator;  // optional Comparator

    public MaxPQ(int initCapacity) {
        pq = (Key[]) new Object[initCapacity + 1];
        n = 0;       // pq[0]没有使用
    }

    public MaxPQ() { this(1);}

    public MaxPQ(int initCapacity, Comparator<Key> comparator) {
        this.comparator = comparator;
        pq = (Key[]) new Object[initCapacity + 1];
        n = 0;
    }

    public MaxPQ(Comparator<Key> comparator) {
        this(1, comparator);
    }

    public MaxPQ(Key[] keys) {
        n = keys.length;
        pq = (Key[]) new Object[keys.length + 1]; 
        for (int i = 0; i < n; i++)
            pq[i+1] = keys[i];
        for (int k = n/2; k >= 1; k--)
            sink(k);
        assert isMaxHeap();
    }
      
    public boolean isEmpty() {return n == 0; }

    public int size() {return n;}

    public Key max() {
        if (isEmpty()) throw new NoSuchElementException("Priority queue underflow");
        return pq[1];
    }

    private void resize(int capacity) {
        assert capacity > n;
        Key[] temp = (Key[]) new Object[capacity];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            temp[i] = pq[i];
        }
        pq = temp;
    }

    public void insert(Key x) {

        // double size of array if necessary
        if (n >= pq.length - 1) resize(2 * pq.length);

        // add x, and percolate it up to maintain heap invariant
        pq[++n] = x;
        swim(n);
        assert isMaxHeap();
    }

    public Key delMax() {
        if (isEmpty()) throw new NoSuchElementException("Priority queue underflow");
        Key max = pq[1];
        exch(1, n--);
        sink(1);
        pq[n+1] = null;     // to avoid loiterig and help with garbage collection
        if ((n > 0) && (n == (pq.length - 1) / 4)) resize(pq.length / 2);
        assert isMaxHeap();
        return max;
    }

    private void swim(int k) {
        while (k > 1 && less(k/2, k)) {
            exch(k, k/2);
            k = k/2;
        }
    }

    private void sink(int k) {
        while (2*k <= n) {
            int j = 2*k;
            if (j < n && less(j, j+1)) j++;
            if (!less(k, j)) break;
            exch(k, j);
            k = j;
        }
    }

    private boolean less(int i, int j) {
        if (comparator == null) {
            return ((Comparable<Key>) pq[i]).compareTo(pq[j]) < 0;
        }
        else {
            return comparator.compare(pq[i], pq[j]) < 0;
        }
    }

    private void exch(int i, int j) {
        Key swap = pq[i];
        pq[i] = pq[j];
        pq[j] = swap;
    }

    // is pq[1..N] a max heap?
    private boolean isMaxHeap() {
        return isMaxHeap(1);
    }

    // is subtree of pq[1..n] rooted at k a max heap?
    private boolean isMaxHeap(int k) {
        if (k > n) return true;
        int left = 2*k;
        int right = 2*k + 1;
        if (left  <= n && less(k, left))  return false;
        if (right <= n && less(k, right)) return false;
        return isMaxHeap(left) && isMaxHeap(right);
    }

    public Iterator<Key> iterator() {
        return new HeapIterator();
    }

    private class HeapIterator implements Iterator<Key> {

        // create a new pq
        private MaxPQ<Key> copy;

        // add all items to copy of heap
        // takes linear time since already in heap order so no keys move
        public HeapIterator() {
            if (comparator == null) copy = new MaxPQ<Key>(size());
            else                    copy = new MaxPQ<Key>(size(), comparator);
            for (int i = 1; i <= n; i++)
                copy.insert(pq[i]);
        }

        public boolean hasNext()  { return !copy.isEmpty();                     }
        public void remove()      { throw new UnsupportedOperationException();  }

        public Key next() {
            if (!hasNext()) throw new NoSuchElementException();
            return copy.delMax();
        }
    }
}

3.堆排序

public class Heap
{
    public static void sort(Comparable[] a){
       int N = a.length;
       for (int k = N/2; k >= 1; k--) sink(a, k, N);
       
       while (N > 1){
       exch(a, 1, N);
        sink(a, 1, --N);
        }
    }
   
     private static void sink(Comparable[] a, int k, int N)
     { /* as before */ }
     private static boolean less(Comparable[] a, int i, int j)
     { /* as before */ }
     private static void exch(Comparable[] a, int i, int j)
     { /* as before */ }
}

作者： 邹珍珍（Pearl_zhen）

出处： http://www.cnblogs.com/zouzz/

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