description
给出一个(n) 个点的树，对于每个点(u) 求
[S(u)=sum_{i=1}^ndis(i,u)^k
]
data range
(nle 50000,kle 150)
solution
先来推式子
[S(u)=sum_{i=1}^ndis(i,u)^k\
=sum_{i=1}^nsum_{j=0}^kleft{egin{matrix}k\jend{matrix}
ight}dis(i,u)^{underline j}\
=sum_{j=0}^kj!left{egin{matrix}k\jend{matrix}
ight}sum_{i=1}^ninom {dis(i,u)}{j}
]
因此只需对每个点(u) 和次数(j) 求出(sum_{i=1}^ninom {dis(i,u)}j) 就可以了
记(f_{u,j}=sum_{i=1}^ninom {dis(i,u)}j) ,(up_{u,j}=sum_{i otin u}inom {dis(i,u)}j) ,(down_{u,j}=sum_{iin u}inom {dis(i,u)}j) 显然(f_{u,j}=up_{u,j}+down_{u,j})
注意组合数有很好的性质
[inom nm=inom{n-1}m+inom{n-1}{m-1}
]
先考虑(down_{u,j}) （简单些）
[down_{u,j}=sum_{iin u}inom{dis(i,u)}j\
=[j=0]+sum_{iin u}(inom{dis(i,u)-1}{j}+inom{dis(i,u)-1}{j-1})\
=[j=0]+sum_{iin u}(inom{dis(i,v)}{j}+inom{dis(i,v)}{j-1})\
=[j=0]+sum_{iin u}(down_{v,j}+down_{v,j-1})
]
再考虑(up_{u,j})
[up_{u,j}=sum_{i
otin u}inom{dis(i,u)}j\
=sum_{i
otin fa_u}inom{dis(i,fa_u)+1}{j}+sum_{iin fa_u}inom{dis(i,fa_u)+1}j-sum_{iin u}inom{dis(i,u)+2}j\
=up_{fa_u,j}+up_{fa_u,j-1}+down_{fa_u,j}+down_{fa_u,j-1}-down_{u,j}-2down_{u,j-1}-down_{u,j-2}
]
注意边界上需要特殊处理
这类题目只是外面套了个斯特林数的外壳，本质还是(dp) 之类的传统东西
普通幂的差分十分困难（即便预处理组合数也需要(mathcal O(k))），而斯特林数将普通幂转为下降幂使得其差分变得简单((mathcal O(1)))
time complexity
(mathcal O(nk))
code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e4+5,K=155,mod=1e4+7;
int f[N][K],s2[K][K],n,k;
int tot,fi[N],ne[N<<1],to[N<<1];
inline int read()
{
int s=0,w=1; char ch=getchar();
for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')w=-1;
for(;isdigit(ch);ch=getchar())s=(s<<1)+(s<<3)+(ch^48);
return s*w;
}
inline void adde(int x,int y){ne[++tot]=fi[x],fi[x]=tot,to[tot]=y;}
inline int add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
inline int dec(int x,int y){return x-y<0?x-y+mod:x-y;}
inline void pre()
{
s2[0][0]=1;
for(int i=1;i<=k;++i)
for(int j=1;j<=k;++j)
s2[i][j]=add(s2[i-1][j-1],s2[i-1][j]*j%mod);
}
int down[N][K],up[N][K];
void dfs1(int u,int f)
{
down[u][0]=1;
for(int i=fi[u];i;i=ne[i])
{
int v=to[i];
if(v==f)continue;
dfs1(v,u);
down[u][0]=add(down[u][0],down[v][0]);
for(int j=1;j<=k;++j)
down[u][j]=add(down[u][j],add(down[v][j],down[v][j-1]));
}
}
void dfs2(int u,int f)
{
int now[K];
now[0]=add(up[u][0],down[u][0]);
for(int j=1;j<=k;++j)
now[j]=(up[u][j]+up[u][j-1]+down[u][j]+down[u][j-1])%mod;
for(int i=fi[u];i;i=ne[i])
{
int v=to[i];
if(v==f)continue;
up[v][0]=dec(now[0],down[v][0]);
up[v][1]=dec(now[1],add(down[v][1],add(down[v][0],down[v][0])));
for(int j=2;j<=k;++j)
up[v][j]=dec(now[j],add(down[v][j],add(2*down[v][j-1]%mod,down[v][j-2])));
dfs2(v,u);
}
}
int main()
{
n=read(),k=read();
for(int i=1,u,v;i<n;++i)
{
u=read(),v=read();
adde(u,v),adde(v,u);
}
pre();dfs1(1,0);dfs2(1,0);
for(int i=1;i<=n;++i)
{
int ans=0,fac=1;
for(int j=0;j<=k;++j,fac=fac*j%mod)
ans=add(ans,fac*s2[k][j]%mod*add(up[i][j],down[i][j])%mod);
printf("%d
",ans);
}
return 0;
}