矩阵翻硬币 - 润新知

　　小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。

　　随后，小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。

　　对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬币进行翻转。

　　其中i和j为任意使操作可行的正整数，行号和列号都是从1开始。

　　当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后，他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。

　　小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小M寻求帮助。

　　聪明的小M告诉小明，只需要对所有硬币再进行一次Q操作，即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒，不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。

　　输入数据包含一行，两个正整数 n m，含义见题目描述。

　　输出一个正整数，表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。

　　对于10%的数据，n、m <= 10^3；
　　对于20%的数据，n、m <= 10^7；
　　对于40%的数据，n、m <= 10^15；
　　对于10%的数据，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。

这道题看起来像一道模拟题，但是看后面的数据，就gg了。

数据达到了1000位数，那么这道题的答案肯定是要找规律。

下面找了一位大佬的解释。

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题目的意思很清楚。小M提供了一种算法，这里演示一下 n = 2, m = 3矩阵的翻硬币过程(1 表示正面， 0 表示反面)

1	1	1
1	1	1

-->(x , y) = (1 , 1) x的倍数行,y的倍数列要翻转

0	0	0
0	0	0

-->(x , y) = (1 , 2)
x的倍数行,y的倍数列要翻转

0	1	0
0	1	0

-->(x , y) = (1 , 3)

0	1	1
0	1	1

-->(x , y) = (2 , 1)

0	1	1
1	0	0

-->(x , y) = (2 , 2)

0	1	1
1	1	0

-->(x , y) = (2 , 3)

0	1	1
1	1	1

这种方法很麻烦，小数据还能应付，像题目中要求有1000位数，根本不可能，所以有必要另避蹊径。从简单到复杂，慢慢分析，看有什么规律：

先看 n = 1 的情况：对于(1 , m),只要看它翻转的次数奇偶就能确定它最终的状态。因为 x = 1，每次第一行都要参与翻转，当 y 能整除 m 的时候，(1 , m)会翻转，(1 , m)全过程翻转的次数取决于 m 的约数个数，1 的约数个数为1 ， 3 的约数个数为2， 5 的约数个数为2， 9 的约数个数为3。当 m = k^2 (k = 1 ,2 ,3···) 其约数个数为奇数，否则其约数个数为偶数。因为一般数约数都是成对出现，而一个数的平方数，有两个约数相等。

所以，最后(1 , m) m = k^2 (k = 1 ,2 ,3···) 最终状态为0，其他则为1。

而最后0的个数总和 count = sqrt(m) , 取整。

再来看一般情况：(n , m)最后状态是什么？现在行的变化也是它翻转的因素。从上面容易推出，当m确定后，他的翻转次数为 n 的约数个数。而(n , m)翻转的次数 = (n的约数个数 * m的约数个数)。刚才分析了，只有在(n , m)翻转的次数为奇数时它的最终状态为 0。而只有奇数*奇数 = 奇数，所以n ,m的约数个数必须为奇数，即： n = k^2 (k = 1 ,2 ,3···) 且 m = j^2 (j = 1 ,2 ,3···)。

最后得出结论：

对于n行m列矩阵，经过 Q 操作后反面的次数 count = sqrt(n) * sqrt(m) ,(取整后再相乘)。

终于是找到了公式，可是又有了新的难题，怎么对1000位数开方呢？这里先给出定理：

假设位数为len的整数，开方取整后为一个lenSqrt位数。

当len为偶数，lenSqrt = len / 2 .

当len为奇数，lenSqrt = (len / 2) + 1 .

证明很简单，这里就不证了。

现在就简单了，位数确定了从高位到低位一位一位地确定。比如：sqrt(1028) ，表示对1028开方取整

它开方取整后两位数.先看第一位：

取 0， 00 * 00 < 1028 所以sqrt(1028) > 00

取 1， 10 * 10 < 1028 所以sqrt(1028) > 10

取 2， 20 * 20 < 1028 所以sqrt(1028) > 20

取 3， 30 * 30 < 1028 所以sqrt(1028) > 30

取 4， 40 * 40 > 1028 所以sqrt(1028) < 40 , 所以第一位取 3 。

第二位：

取 0, 30 * 30 < 1028 所以sqrt(1028) > 30
取 1, 31 * 31 < 1028 所以sqrt(1028) > 31

取 2, 32 * 32 < 1028 所以sqrt(1028) > 32
取 3, 33 * 33 > 1028 所以sqrt(1028) < 33 , 所以sqrt(1028) = 32 。

大数是一样的道理，只不过大数用字符串保存，字符串相乘也要自己来实现。

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下面就贴下我的代码：

 1 #include <iostream>
 2 #include <string>
 3 
 4 #define test cout<<"******"<<endl
 5 
 6 using namespace std;
 7 
 8 string Multstr(string str1,string str2){
 9 
10     string strResult = "";
11     int len1 = str1.length();
12     int len2 = str2.length();
13     int num[500] = {0};
14     for(int i=0;i<len1;i++){
15         for(int j=0;j<len2;j++){
16             num[len1-1-i+len2-1-j]+=(str1[i]-'0')*(str2[j]-'0');
17         }
18     }
19     for(int i=0;i<len1+len2;i++){
20         num[i+1]+=num[i]/10;
21         num[i]=num[i]%10;
22     }
23     int a=0;
24     for(int i=len1+len2-1;i>=0;i--){
25         if(num[i]!=0){
26             a=i;break;
27         }
28     }
29     for(int i=a;i>=0;i--){
30         strResult += num[i]+'0';
31     }
32     return strResult;
33 }
34 
35 int Comparestr(string str1,string str,int pos){
36     int len1 = str1.length();
37     int len = str.length();
38     if(len1+pos>len)
39         return 1;
40     if(len1+pos<len)
41         return 0;
42     for(int i=0;i<pos;i++){
43         str1+='0';
44     }
45     if(str1>str){
46         return 1;
47     }
48     return 0;
49 }
50 
51 string Sqrtstr(string str){
52     int len = str.length();
53     string strResult = "";
54     string strr = "";
55     if(len%2==0){
56         for(int i=0;i<len/2;i++){
57             for(int j=0;j<10;j++){
58                 strr = strResult;
59                 strr +=j+'0';
60                 if(Comparestr(Multstr(strr,strr),str,(len/2-i-1)*2)){
61                     strResult+=j-1+'0';
62                     break;
63                 }
64                 if(j==9)
65                     strResult+='9';
66             }
67         }
68 
69     }else{
70         for(int i=0;i<len/2+1;i++){
71             for(int j=0;j<10;j++){
72                 strr = strResult;
73                 strr +=j+'0';
74                 if(Comparestr(Multstr(strr,strr),str,(len/2-i)*2)){
75                     strResult+=j-1+'0';
76                     break;
77                 }
78                 if(j==9)
79                     strResult+='9';
80             }
81         }
82 
83     }
84     return strResult;
85 }
86 
87 int main(){
88     std::ios::sync_with_stdio(false);
89     string str1,str2;
90     cin>>str1>>str2;
91     cout<<Multstr(Sqrtstr(str1),Sqrtstr(str2))<<endl;
92     return 0;
93 }