回溯算法

解决⼀个回溯问题，实际上就是⼀个决策树的遍历过程。你只需要思考 3 个问题：

1. 路径：也就是已经做出的选择
2. 选择列表：也就是你当前可以做的选择
3. 结束条件：也就是到达决策树底层，⽆法再做选择的条件

回溯算法的框架：

result = [] 
def backtrack(路径, 选择列表): 
    if 满⾜结束条件: 
        result.add(路径) 
        return 
    for 选择 in 选择列表: 
        做选择 
        backtrack(路径, 选择列表) 
        撤销选择

【举例 1】
全排列问题：
给定一个没有重复数字的序列，返回其所有可能的全排列。

leetcode链接

⽐⽅说给三个数[1,2,3]，如下图，⽐如说你站在下图的红⾊节点上，则 [2] 就是「路径」，记录你已经做过的选择； [1,3] 就是「选择列表」，表⽰你当前可以做出的选择；「结束条件」就是遍历到树的底层，在这⾥就是选择列表为空的时候。

如此，回溯算法的核心框架可以表示为：

for 选择 in 选择列表:
    # 做选择 
    将该选择从选择列表移除 
    路径.add(选择) 
    backtrack(路径, 选择列表) 
    # 撤销选择 
    路径.remove(选择) 
    将该选择再加⼊选择列表

我们只要在递归之前做出选择，在递归之后撤销刚才的选择（如树的遍历），就能正确得到每个节点的选择列表和路径，则全排列的详细代码为：

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
        vector<vector<int>> res;
        vector<int> trace;
        traceback(nums, trace, res);
        return res;
    }

    void traceback(vector<int> &nums, vector<int> trace, vector<vector<int>>& res){
        if(trace.size() == nums.size()){
            res.push_back(trace);
            return;
        }
        for(int item: nums){
            if(find(trace.begin(), trace.end(), item) == trace.end()){
                trace.push_back(item);
                traceback(nums, trace, res);
                trace.erase(trace.end()-1);
            }
        }
    }
};

【举例 2】
N皇后问题:
n 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。
注：皇后彼此不能相互攻击，也就是说：任何两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。

leetcode链接

class Solution {
public:
    vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
        vector<vector<string>> vvs;
        vector<string> vs(n, string(n, '.'));
        traceback(0, vs, vvs);
        return vvs;
    }

    void traceback(int row, vector<string>& vs, vector<vector<string>>& vvs){
        if(row == vs.size()){
            vvs.push_back(vs);
            return;
        }
        for(int i = 0;i < vs.size();i++){
            if(!isValid(row, i, vs)) continue;
            vs[row][i] = 'Q';
            traceback(row+1, vs, vvs);
            vs[row][i] = '.';
        }

    }

    bool isValid(int row, int n, vector<string>& vs){
        // 同一列
        for(int i = 0;i < row;i++)
            if(vs[i][n] == 'Q') return false;
        // 左上斜线
        for(int i = row-1, j = n-1; i >= 0 && j >= 0;i--,j--)
            if(vs[i][j] == 'Q') return false;
        // 右上斜线
        for(int i = row-1, j = n+1; i >= 0 && j < vs.size();i--,j++)
            if(vs[i][j] == 'Q') return false;
        return true;
    }
};