已知: $ riangle{ABC}$ 是正三角形, $AD = BE = CF$.
求证: $ riangle{DEF}$ 为正三角形.
分析:
作 $ riangle{ABC}$ 之外接圆 $odot{O}$, 并延长 $AD, BE, CF$ 与对边及外接圆分别交于两点。
若结论成立, 则等价于 $ riangle{HCF}, riangle{JAD}, riangle{LBE}, riangle{BHD}, riangle{CJE}, riangle{ALF}$ 均为正三角形.
证明:
对四边形 $ABHC$, 由Ptolemy定理可知,
$AH cdot BC = ABcdot CH + BH cdot AC Rightarrow AH = BH + CH$.
同理, $BJ = AJ + CJ, CL = AL + BL$.
在 $ riangle{HCF}$ 中, $angle{FHC} = angle{ABC} = 60^{circ}$. 下面讨论 $CH$ 与 $CF$ 之大小关系.
若 $CH < CFRightarrow CH < ADRightarrow BH > DH$.
另一方面, 由 $angle{CFH} < angle{CHF} = 60^{circ} < angle{HCF}Rightarrow CH < CF < HF$.
可得: $angle{LFA} < angle{ALF} < angle{FAL} Rightarrow AL < AF < LF Rightarrow BL > CF = BE Rightarrow$
$CJ > CE > JE Rightarrow AJ < BE= ADRightarrow BH < BD < DH$.
与 $BH > DH$ 矛盾!
同理可知 $CH > CF$ 时亦不成立.
故 $ riangle{HCF}$ 是正三角形.
同理, $ riangle{JAD}, riangle{LBE}$ 均为正三角形. 因此 $ riangle{DEF}$ 是正三角形.
Q$cdot$E$cdot$D
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