UVA1635 Irrelevant Elements(唯一分解定理 + 组合数递推）

http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewProblem.action?id=51196

紫书P320;

题意：给定n个数a1,a2····an,依次求出相邻两个数值和，将得到一个新数列，重复上述操作，最后结果将变为一个数，问这个数除以m的余数与那些数无关？例如n=3,m=2时，第一次得到a1+a2,a2+a3，在求和得到a1+2*a2+a3，它除以2的余数和a2无关。1=<n<=10^5, 2=<m<=10^9

 其实就是杨辉三角的某一行有几个能整除m，求C(0,n - 1)，C（1， n - 2)... C（n - 1， n - 1)中那几个能整除m

解题思路：

1、首先我们可以发现对于给定的n其实每项的系数就是C(n-1,i-1)，所以我们只需要找到每项的系数对m取余是否为0即可

2、由于m的取值范围为10^9,所以我们只需要筛选 √(10^9)的素数，然后对m进行分解；如果分解后m>1，说明当前m的是原m的一个素数，而且m> √(10^9)，因此我们只需记录它即可

3、由组合数的递推公式C（k, n) = (n - k + 1) / k * C(k - 1， n)，而这道题n = n - 1；首项是一，可以直接从第二项即k = 1: （n - 1 )  - k + 1 / k开始判断是否能整除m，分子能整除素数元素个数就减一，分母能整除就+1，如果对于任意一个素数对应的指数 >= 1，就说明不能整除

收获：

每个整数的唯一分解式项数不多（long long 类型的数值最多20项，前21个素数相乘long long就溢出了）

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int Max = 40000;

int factor[20],nfactor[20],num_factor,flag_factor[100000 + 10];
int count_prime,prime[Max + 5],flag[Max + 5];
void get_prime()
{
    memset(flag, 0, sizeof(flag));
    count_prime = 0;
    for(int i = 2; i <= Max; i++)
    {
        if(flag[i] == 0)
        {
            flag[i] = 1;
            prime[++count_prime] = i;
            for(int j = 2; j <= Max / i; j++)
            {
                flag[i * j] = 1;
            }
        }
    }
}

void get_factor(int m)
{
    num_factor = 1;
    memset(nfactor, 0, sizeof(nfactor));
    memset(factor, 0, sizeof(factor));
    for(int i = 1; i <= count_prime; i++)
    {
        if(m < prime[i])
            break;
        if(m % prime[i] == 0)
        {
            factor[num_factor] = prime[i];
            while(m % prime[i] == 0 && m)
            {
                nfactor[num_factor]++;
                m = m / prime[i];
            }
            num_factor++;
            if(m == 0 || m == 1)
                break;
        }
    }
    if(m > 1)
    {
        factor[num_factor] = m;
        nfactor[num_factor]++;
        num_factor++;
    }
}
bool check(int x, int y)
{
    bool check_flag = true;
    for(int i = 1; i < num_factor; i++)
    {
        while(x % factor[i] == 0 && x)
        {
            x = x / factor[i];
            nfactor[i]--;
        }
        while(y % factor[i] == 0 && y)
        {
            y = y / factor[i];
            nfactor[i]++;
        }
        if(nfactor[i] >= 1)
        {
            check_flag = false;
            //break;  要不得，即使不能整除，也要约分完，因为下一个受这一个的影响
        }
    }
    return check_flag;
}
int main()
{
    int n,m;
    get_prime();
    while(scanf("%d%d", &n, &m) != EOF)
    {
        get_factor(m);  //对m分解
        int cnt = 0, ends = 0;
        memset(flag_factor, 0, sizeof(flag_factor));
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            if( check(n - i, i) )   //原型就是 (n - 1 - i + 1) / i
            {
                flag_factor[i + 1] = 1;
                ends = i + 1;
                cnt++;
            }
        }
        printf("%d
", cnt);
        if(cnt > 0)
        {
            for(int i = 1; i < ends; i++)
            if(flag_factor[i])
                printf("%d ", i);
            printf("%d", ends);
        }
        printf("
");
    }
    return 0;
}