该试卷分两部分: 分析 $5$ 题 (共 $50$ 分), 代数 $5$ 题 (共 $50$ 分). 考试时间: $120$ 分钟
1. ($10'$) 对哪些实数 $al$, 级数 $dps{vsm{n}sex{frac{1}{n}-sin frac{1}{n}}^al}$ 收敛?
2. ($6'$) 设 $y$ 是 $[0,1]$ 上 $C^1$ 光滑实函数, 满足方程 $$ex y''(x)+y'(x)-y(x)=0,quad xin (0,1), eex$$ 且 $y(0)=y(1)=0$. 试证: $y(x)=0, xin [0,1]$.
3. ($10'$) 设 $f$ 是 $bR^2$ 上的有界连续实函数, 定义 $$ex g(x)=int_{bR} frac{f(x,t)}{1+t^2} d t,quad xinbR. eex$$ 试证: $g(x)$ 是 $bR$ 上的连续函数.
4. ($10'$) 设 $f$ 是 $[1,infty)$ 上连续可微实函数, 满足 $f(1)=1$, 且 $$ex f'(x)=frac{1}{f^2(x)+x^2},quad xin (1,infty). eex$$ 试证: $dps{vlm{x}f(x)}$ 存在且不超过 $dps{1+frac{1}{4}pi}$.
5. ($14'=2 imes 7'$) 设 $f$ 是 $[0,1]$ 上连续实函数, 计算下列极限并证明你的结论: (1). $dps{vlm{n}int_0^1 x^nf(x) d x}$; (2). $dps{vlm{n}nint_0^1 x^nf(x) d x}$.
6. 对整数 $a,b$, 定义 $aequiv b (mod m)$ 当且仅当 $mmid(a-b)$ (即 $m$ 整除 $a-b$). 正整数 $m$ 取何值时, 一下线性方程组有解? $$ex sedd{a{rrrrrrl} x&+&2y&-&z&equiv&1 (mod m)\ 2x&-&3y&+&z&equiv&4 (mod m)\ 4x&+&y&-&z&equiv&9 (mod m) ea} eex$$
7. 设 $ t$ 是实数, $n$ 是自然数, 求 $$ex sex{a{cc} e^{-i t}&2isin t\ 0&e^{i t} ea}^n. eex$$
8. 设 $A,Bin M_n(bC)$ ($n$ 阶复矩阵), 回答以下问题并说明理由: (1). $AB$ 与 $BA$ 是否相似? (2). $AB$ 与 $BA$ 是否有相同的特征多项式? (3). $AB$ 与 $BA$ 是否有相同的极小多项式?
9. 证明实数域上的有限维线性空间不可能是有限个真子空间的并, 再讨论有限域情形.
10. 设 $T:V o V$ 是复数域 $bC$ 上有限维线性空间 $V$ 上的幂零算子 (即存在正整数 $k$, 使得 $T^k=0$), $I$ 是单位算子. 求线性算子 $S$, $Q$ 使得 $S^2=I+T$, $Q(I+T)=I$.