设 $|f|$ 在 $bR$ 上一致连续, $f$ 连续. 试证: $f$ 一致连续.
证明: 由 $|f|$ 在 $bR$ 上一致连续知 $$ex forall ve>0, exists delta>0,st |x-y|<delta a ||f(x)|-|f(y)||<frac{ve}{2}. eex$$ 若 $f(x),f(y)$ 同号, 则 $$ex |f(x)-f(y)|=||f(x)|-|f(y)||<frac{ve}{2}<ve. eex$$ 否则, 由连续函数介值定理, $$ex exists ximbox{ 在 }x,ymbox{ 之间},st f(xi)=0, eex$$ 如此, $$eex ea |f(x)-f(y)|&leq |f(x)-f(xi)|+|f(y)-f(xi)|\ &=||f(x)|-|f(xi)||+||f(y)|-|f(xi)||\ &<frac{ve}{2}+frac{ve}{2}=ve. eea eeex$$