1. 求 $dps{int_vGa y^2 d s}$, 其中 $vGa$ 由 $dps{sedd{a{rl} x^2+y^2+z^2&=a^2\ x+z&=a ea}}$ 决定.
解答: $vGa$: $$ex sedd{a{rl} sex{x-cfrac{a}{2}}^2+y^2+sex{z-cfrac{a}{2}}^2&=cfrac{a^2}{2}\ sex{x-cfrac{a}{2}}+sex{y-cfrac{a}{2}}&=0 ea}. eex$$ 作变换 $$ex u=x-cfrac{a}{2},quad v=y,quad w=z-cfrac{a}{2}, eex$$ 则 $$eex ea int_vGa y^2 d s &=int_l v^2 d squadsex{l: sedd{a{rl} u^2+v^2+w^2&=cfrac{a^2}{2}\ u+w=0 ea}}\ &=int_0^{2pi} cfrac{a^2}{2}sin^2 t sqrt{sex{cfrac{ d u}{ d t}}^2 +sex{cfrac{ d v}{ d t}}^2 +sex{cfrac{ d w}{ d t}}^2} d t\ &quadsex{l: sedd{a{rl} u=cfrac{a}{2}cos t\ v=cfrac{a}{sqrt{2}}sin t\ w=-cfrac{a}{2}cos t ea}, 0leq tleq 2pi}\ &=int_0^{2pi} cfrac{a^2}{2}sin^2 t cdot cfrac{a}{sqrt{2}} d t\ &=cfrac{a^3pi}{2sqrt{2}}. eea eeex$$
2. 设 $a,b,c$ 均为正数, 计算曲面积分 $$ex iint_S x^3 d y d z+y^3 d z d x+z^3 d x d y, eex$$ 其中 $S$ 是上半椭球面 $$ex frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}+frac{z^2}{c^2}=1,quad zgeq 0, eex$$ 方向朝上.
解答: $$ex mbox{原第二型曲面积分} &=&3iiint_{frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}+frac{z^2}{c^2}leq 1atop zgeq 0} (x^2+y^2+z^2) d x d y d z\ &=&3abciiint_{x^2+y^2+z^2leq 1atop zgeq 0} (a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2) d x d y d z\ &=&3abc(a^2+b^2+c^2)iiint_{x^2+y^2+z^2leq 1atop zgeq 0} x^2 d x d y d z\ &=&abc(a^2+b^2+c^2)iiint_{x^2+y^2+z^2leq 1atop zgeq 0} (x^2+y^2+z^2) d x d y d z\ &=&frac{1}{2}abc(a^2+b^2+c^2) iiint_{x^2+y^2+z^2leq 1}(x^2+y^2+z^2) d x d y d z\ &=&frac{1}{2}abc(a^2+b^2+c^2) int_0^1 r^2cdot 4pi r^2 d r\ &=&frac{2pi}{5}abc(a^2+b^2+c^2). eex$$
3. 计算曲面积分 $dps{iint_Sfrac{ d S}{sqrt{x^2+y^2+(z+2)^2}}}$, 其中 $S$ 是以原点为心、 $2$ 为半径的球面被 $z=sqrt{x^2+y^2}$ 所割的上部分.
解答: $$eex ea iint_Sfrac{ d S}{sqrt{x^2+y^2+(z+2)^2}} &=iint_Sfrac{ d S}{sqrt{8+2z}}\ &=iint_{x^2+y^2leq 2} frac{1}{sqrt{8+2sqrt{4-x^2-y^2}}}cdot frac{2}{sqrt{4-x^2-y^2}} d x d y\ &=int_0^{sqrt{2}} frac{sqrt{2}}{sqrt{4+sqrt{4-r^2}}}cdot 2pi r d r\ &=sqrt{2}pi int_0^2 frac{ d s}{sqrt{4+sqrt{4-s}}cdot sqrt{4-s}}quadsex{s=r^2}\ &=sqrt{2}pi int_{sqrt{2}}^2 frac{1}{sqrt{4+t}cdot t}cdot 2t d tquadsex{sqrt{4-s}=t}\ &=2sqrt{2}piint_{sqrt{2}}^2 frac{1}{sqrt{4+t}} d t =4sqrt{2}pisex{sqrt{6}-sqrt{4+sqrt{2}}}. eea eeex$$
4. 设 $dps{f(x)=sum_{n=0}^infty frac{1}{x+2^n}}$, $xin [0,infty)$. 证明:
(1) $f$ 在 $[0,infty)$ 上连续;
(2) $dps{lim_{x oinfty}f(x)=0}$; (3) 对一切 $xin (0,infty)$ 有 $$ex 0<f(x)-frac{ln(1+x)}{xln 2}<frac{1}{1+x}. eex$$
证明:
(1) 由 $$ex frac{1}{x+2^n}<frac{1}{2^n} eex$$ 知 $dps{sum_{n=0}^inftyfrac{1}{x+2^n}}$ 关于 $x$ 一致收敛. 而 $f(x)$ 作为和函数, 是连续的.
(2) 由 $$eex ea f(x)&=sum_{n=0}^inftyfrac{1}{x+2^n}\ &=sum_{n=0}^N frac{1}{x+2^n} +sum_{n=N+1}^infty frac{1}{x+2^n}\ &<frac{N+1}{x}+frac{1}{2^N}\ &equiv I_1+I_2 eea eeex$$ 知对任意固定的 $ve>0$, 可先取 $N$ 充分大使得 $dps{I_2<frac{ve}{2}}$; 后对该 $N$, $$ex exists X>0,st x>X a I_1<frac{ve}{2}. eex$$ (3) 由 $$ex frac{1}{x+2^{n+1}}<frac{1}{x+2^t}<frac{1}{x+2^n}quad (n<t<n+1) eex$$ 知 $$ex sum_{n=1}^infty frac{1}{x+2^n} <int_0^infty frac{1}{x+2^t} d t <sum_{n=0}^infty frac{1}{x+2^n}. eex$$ 而 $$ex int_0^infty frac{1}{x+2^t} d t <f(x)=sum_{n=0}^infty frac{1}{x+2^n} <int_0^infty frac{1}{x+2^t} d t +frac{1}{1+x}. eex$$ 因 $$eex ea int_0^infty frac{1}{x+2^t} d t &=frac{1}{ln 2} int_{x+1}^infty frac{1}{y}cdotfrac{ d y}{y-x}quad sex{x+2^6=y}\ &=frac{1}{xln 2} cdotleft.lnfrac{y-x}{y} ight|_{y=x+1}^{y=infty}\ &=frac{ln(1+x)}{xln 2}, eea eeex$$ 我们最终得到 $$ex 0<f(x)-frac{ln(1+x)}{xln 2}<frac{1}{1+x}. eex$$
5. 设 $f$ 是 $(0,infty)$ 上的有界连续函数, 并设 $sed{r_n}$ 是任意给定的正实数列. 试证: 存在正实数列 $sed{x_n}$, 使得 $$ex lim_{n oinfty}[f(x_n+r_n)-f(x_n)]=0. eex$$
证明: (1) 先证明: 对任意固定的 $nin bN$, $$eelabel{113.8:eq1} exists y_n>0,st f(y_n+r_n)-f(y_n)<frac{1}{n}; eee$$ $$eelabel{113.8:eq2} exists z_n>0,st f(z_n+r_n)-f(z_n)>-frac{1}{n}. eee$$ 断言 eqref{113.8:eq1} 与 eqref{113.8:eq2} 的证明类似. 我们仅用反证法证明 eqref{113.8:eq1}. 若 $$ex y>0 a f(y+r_n)-f(y)>frac{1}{n}, eex$$ 则 $$eex ea f(1+kr_n)&=sum_{j=0}^{k-1} [f(1+(j+1)r_n)-f(1+jr_n)] +f(1)\ &>frac{k}{n}+f(1). eea eeex$$ 令 $k oinfty$, 我们发现 $f$ 无上界. 这是一个矛盾.
(2) 再证明: $$ex exists x_n>0,st sev{f(x_n+r_n)-f(x_n)}<frac{1}{n}. eex$$
(a) 若 $dps{f(y_n+r_n)-f(y_n)>-frac{1}{n}}$, 则可取 $x_n=y_n$;
(b) 若 $dps{f(z_n+r_n)-f(z_n)<frac{1}{n}}$, 则可取 $x_n=z_n$;
(c) 若 $$ex f(y_n+r_n)-f(y_n)leq -frac{1}{n},quad f(z_n+r_n)-f(z_n)geq frac{1}{n}, eex$$ 则由 $$ex sez{-frac{1}{n},frac{1}{n}} subset [ f(y_n+r_n)-f(y_n), f(z_n+r_n)-f(z_n) ] eex$$ 及连续函数的介值定理知 $$ex exists x_nmbox{ 在 }y_n,z_nmbox{ 之间},st f(x_n+r_n)-f(x_n)=0\,! eex$$
6. 设 $f:(0,+infty) o(0,+infty)$ 是一个单调增加的函数. 如果 $$ex lim_{x o+infty}frac{f(2x)}{f(x)}=1, eex$$ 证明: 对任意 $m>0$ 都有 $$ex lim_{x o+infty}frac{f(mx)}{f(x)}=1. eex$$
证明: (1) 仅须对 $mgeq 1$ 验证题目. 事实上, 对 $0<m<1$ 有 $$ex lim_{x o+infty}cfrac{f(mx)}{f(x)}= lim_{x o+infty}cfrac{1}{cfrac{f(x)}{f(mx)}} =cfrac{1}{ dps{lim_{x o+infty}cfrac{fsex{frac{1}{m}s}}{f(s)}}}. eex$$
(2) 仅须对 $x=2^k (kinbN)$ 验证题目. 事实上, 对 $mgeq 1$, $$ex exists kin bN,st 2^kleq m<2^{k+1}. eex$$ 而 $$ex cfrac{f(2^kx)}{f(x)} leq cfrac{f(mx)}{f(x)} leq cfrac{f(2^{k+1}x)}{f(x)}. eex$$ (3) 当 $x=2^k$ 时, $$ex lim_{x o+infty} cfrac{f(2^kx)}{f(x)} = lim_{x o+infty}prod_{i=1}^k cfrac{f(2^ix)}{f(2^{i-1}x)} =prod_{i=1}^k lim_{s o+infty}cfrac{f(2s)}{f(s)}=1. eex$$
7. 对 $dps{xin sex{0,cfrac{pi}{2}}}$, 试证:
(1) $dps{cfrac{1}{3} an x+cfrac{2}{3}sin x>x}$;
(2) $dps{cfrac{1}{sin^2 x}-cfrac{1}{x^2}leq 1-cfrac{4}{pi^2}}$.
证明: (1) 当 $dps{xin sex{0,frac{pi}{2}}}$, 由 $$eex ea an x&=int_0^x sec^2t d t\ &=int_0^x(1+ an^2t) d t\ &>int_0^x (1+t^2) d tquadsex{mbox{单位圆上作图}}\ &=x+frac{x^3}{3}; eea eeex$$ $$eex ea sin x&=int_0^x cos t d t\ &=int_0^x sez{1-int_0^t sin s d s} d t\ &>int_0^x sez{1-int_0^t s d s} d t\ &=x-frac{x^3}{6} eea eeex$$ 知 $$ex frac{1}{3} an x+frac{2}{3}sin x>x. eex$$
(2) $$eex ea cfrac{cfrac{1}{x^2}-cfrac{4}{pi^2}}{cfrac{1}{sin^2x}-1} &=cfrac{-cfrac{2}{y^3}}{-2cfrac{cos y}{sin^2y}}quadsex{x<y<cfrac{pi}{2}}\ &=cfrac{2sin zcos z an z+sin^2zsec^2z}{3z^2}quadsex{0<z<y}\ &=cfrac{2sin^2z+ an^2 z}{3z^2}\ &=cfrac{sez{sex{sqrt{2}}^2+1^2}sez{sex{sqrt{2}sin z}^2+sex{ an z}^2}}{9z^2}\ &geq cfrac{(sqrt{2}cdot sqrt{2}z+1cdot an z)^2}{9z^2}\ &=sex{cfrac{2sin z+ an z}{3z}}^2\ &>1. eea eeex$$
8. 设 $f$ 是 $[0,infty)$ 上的单调函数, 试证:
(1) 对任意的 $a>0$, 有 $$ex lim_{n oinfty} int_0^a f(x)sin nx d x=0; eex$$
(2)若再设 $dps{vlm{x}f(x)=0}$, 试证: $$ex vlm{n}int_0^infty f(x)sin nx d x=0. eex$$
证明: (1) 由积分第二中值定理, $$eex ea sev{int_0^a f(x)sin nx d x} &=sev{f(0)int_0^xi sin nx d x +f(a)int_xi^a sin nx d x}\ &=sev{f(0)cfrac{1-cos nxi}{n} +f(a)cfrac{cos nxi-cos na}{n}}\ &leq cfrac{2sez{|f(0)|+|f(a)|}}{n}\ & o 0quadsex{n oinfty}. eea eeex$$
(2) 写出 $$eex ea int_0^infty f(x)sin nx d x &=frac{1}{n}int_0^infty fsex{frac{t}{n}}sin t d t\ &=frac{1}{n} sum_{k=0}^infty sez{ int_{2kpi}^{(2k+1)pi} fsex{frac{t}{n}}sin t d t +int_{(2k+1)pi}^{(2k+2)pi}fsex{frac{t}{n}}sin t d t }. eea eeex$$ 我们有 $$eex ea &quadint_0^infty f(x)sin nx d x\ &geq frac{1}{n} sum_{k=0}^infty sez{fsex{frac{(2k+1)pi}{n}}int_{2kpi}^{(2k+1)pi}sin t d t +fsex{frac{(2k+1)pi}{n}}int_{(2k+1)pi}^{(2k+2)pi}sin t d t}\ &=0; eea eeex$$ $$eex ea &quadint_0^infty f(x)sin nx d x\ &=frac{1}{n}lim_{m oinfty} sum_{k=0}^m sez{ int_{2kpi}^{(2k+1)pi} fsex{frac{t}{n}}sin t d t +int_{(2k+1)pi}^{(2k+2)pi}fsex{frac{t}{n}}sin t d t }\ &leq frac{1}{n}lim_{m oinfty} sum_{k=0}^m sez{ fsex{frac{2kpi}{n}}int_{2kpi}^{(2k+1)pi} sin t d t +fsex{frac{(2k+2)pi}{n}}int_{(2k+1)pi}^{(2k+2)pi} sin t d t }\ &=frac{2}{n}lim_{m oinfty} sum_{k=0}^m sez{ fsex{frac{2kpi}{n}} -fsex{frac{2(k+1)pi}{n}}}\ &=frac{2}{n}lim_{m oinfty}sez{f(0)-fsex{frac{2(m+1)pi}{n}}}\ &=frac{2}{n}f(0) eea eeex$$ 于是 $$ex 0leq int_0^infty f(x)sin nx d xleq frac{2}{n}f(0). eex$$ 故有结论.
9. 设 $f$ 在 $[0,c]$ 上连续, $f(0)=0$, 且当 $xin (0,c)$ 时, $f''(x)<0$. 试证: 当 $0<a<b<a+b<c$ 时, $$ex f(a+b)<f(a)+f(b). eex$$
证明: 对固定的 $b>0$, 令 $$ex F(x)=f(x+b)-f(x)-f(b), eex$$ 则 $F(0)=0$; 且由 $f''(x)<0$ 知 $$ex F'(x)=f'(x+b)-f'(x)<0. eex$$ 于是 $$ex F(a)<F(0)=0. eex$$