题面
牧羊人 A 和牧羊人 B 总是很无聊，所以他们要玩一个游戏。A 有 (a) 只羊，B 有 (b) 只羊。他们想要知道 (a^b) 的因子和是多少。这就很为难两个牧羊人了，由于答案太大，你能不能告诉我答案取模 (9901) 的数。
Example In #1
2 3
Example Out #1
15
对于 (100\%) 的数据，(0 leq a, b leq 50000000)。
题解
举例：
[egin{align*}
S &= (1 + 2 + 4)(1 + 3 + 9)\
&= (2 + 4 + 3 + 9) + (2 imes3) + (2 imes9) + (4 imes3) + (4 imes9)\
&= 7 imes13 = 91
end{align*}
]
可以看出 (S) 即为 (2^3 imes3^2 = 72) 的因数和。
推广到一般：
[egin{align}
S = (1 + p_1^{1b} + p_1^{2b} + dots + p_1^{k_1b}) imes dots imes(1 + p_m^{1b} + p_m^{2b} + dots + p_m^{k_mb})
end{align}
]
等比数列求和公式：
[ S_n = frac{a_1 imes (1 - q^n)}{1 - q} = frac{a_1 - a_nq}{1 - q} = frac{a_nq - a_1}{1 - q}
]
(n) 为项数，(S_n) 为和，(q) 为公比，(a_1) 为首项，(a_n) 为末项。
此题中：
[egin{align*}
&n = m (m 为质因数个数)\
&q = p_i\
&a_1 = 1\
&a_n = p_i^{k_ib}
end{align*}
]
代入式中，可见：
[egin{align}
S &= prod_{i = 1}^{m} frac{p_i ^ {k_ib + 1} - 1}{p_i - 1}
end{align}
]
其中，除法取模用费马小定理求乘法逆元。
[egin{align}
S &= prod_{i = 1}^{m} (p_i ^ {k_ib + 1} - 1) imes (p_i - 1) ^ {(mod - 2)}
end{align}
]
#include <iostream>
#include <utility>
#include <vector>
#include <cmath>
const int MOD = 9901;
using i64 = long long;
i64 q_pow(i64 a, int b)
{
i64 res = 1;
while (b > 0)
{
if (b % 2 == 1)
res = res * a % MOD;
a = a * a % MOD;
b /= 2;
}
return res;
}
bool is_prime(int n)
{
for (int i = 2; i <= std::sqrt(n); i++)
if (n % i == 0)
return false;
return true;
}
int main()
{
int a, b;
std::cin >> a >> b;
std::vector<std::pair<int, int>> fac;
for (int i = 2; i <= std::sqrt(a); i++)
{
if (is_prime(i) && a % i == 0)
{
fac.emplace_back(i, 0);
while (a % i == 0)
{
a /= i;
fac.back().second++;
}
fac.back().second *= b;
}
}
if (a != 1)
fac.emplace_back(a, b);
i64 ans = 1;
for (auto f : fac)
{
i64 res = (q_pow(f.first, f.second + 1) - 1) % MOD;
res = res * q_pow(f.first - 1, MOD - 2) % MOD;
ans = ans * res % MOD;
}
std::cout << ans;
return 0;
}