1. 矩阵
定义：有 (m*n) 个数 (a_{ij}(i=1,2,cdots,m; j=1,2,cdots,n)) 排成的 (m) 行 (n) 列的数表
[egin{Bmatrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \
vdots & vdots & & vdots \
a_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{mn} \
end{Bmatrix}
]
特殊矩阵
- n阶方阵
- 行矩阵、列矩阵
- 对角矩阵
- 单位矩阵
- 零矩阵
注意：不同阶数的零矩阵不相等。
同型矩阵和矩阵相等
同型矩阵的定义：两个矩阵的行数相等，列数相等。
矩阵相等的定义：两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相等。
2. 矩阵的运算
矩阵的加法和减法
运算规律：
- (A + B = B + A)（交换律）
- (A + (B + C) = (A + B) + C)（结合律）
数与矩阵相乘
运算规律：
- ((lambda mu)A = lambda(mu A))（结合律）
- ((lambda + mu)A = lambda A + mu A)（分配律）
- (lambda(A + B) = lambda A + lambda B)（分配律）
矩阵与矩阵相乘
仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘。
运算规律：
- ((AB)C = A(BC))（结合律）
- (lambda(AB) = (lambda A)B = A(lambda B))（结合律）
- (A(B + C) = AB + AC, (B + C)A = BA + CA)（分配律）
- (AE = EA = A)
- 若 (A) 为方阵，(A^mA^k = A^{m+k}, (A^m)^k = A^{mk})
-
无交换律：$AB ot= BA$
-
无消去律：若 $AM = AN$, 不一定有 $M ot= N$
-
若 $AB = 0$, 不一定有 $A = 0, B = 0$
矩阵的转置
定义：把矩阵的行换成同序数的列。
运算规律：
- ((A^T)^T = A)
- ((A + B)^T = A^T + B^T)
- ((lambda A)^T = lambda A^T)
- ((AB)^T = B^TA^T)
对称阵：(A^T = A)