51nod 1174 区间最大值（RMQ and 线段树）

给出一个有N个数的序列，编号0 - N - 1。进行Q次查询，查询编号i至j的所有数中，最大的数是多少。

例如: 1 7 6 3 1。i = 1, j = 3，对应的数为7 6 3，最大的数为7。（该问题也被称为RMQ问题）

 

Input

第1行：1个数N，表示序列的长度。(2 <= N <= 10000)
第2 - N + 1行：每行1个数，对应序列中的元素。(0 <= S[i] <= 10^9)
第N + 2行：1个数Q，表示查询的数量。(2 <= Q <= 10000)
第N + 3 - N + Q + 2行：每行2个数，对应查询的起始编号i和结束编号j。(0 <= i <= j <= N - 1)

 

Output

共Q行，对应每一个查询区间的最大值。

 

Input示例

5
1
7
6
3
1
3
0 1
1 3
3 4

 

Output示例

7
7
3


首先一波RMQ概念
RMQ算法：是一个快速求区间最值的离线算法，预处理时间复杂度O（n*log(n)），查询O(1)，所以是一个很快速的算法，当然这个问题用线段树同样能够解决。

（一）首先是预处理，用动态规划（DP）解决。

设A[i]是要求区间最值的数列，F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。（DP的状态）

例如：

A数列为：3 2 4 5 6 8 1 2 9 7

F[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。同理 F[1,1] = max(3,2) = 3, F[1，2]=max(3,2,4,5) = 5，F[1，3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8;

并且我们可以容易的看出F[i,0]就等于A[i]。（DP的初始值）

这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。

我们把F[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），

(i,i+2^(j-1)-1)为一段， (i+2^(j-1),i+2^j-1)为一段(长度都为2 ^ (j - 1))     

用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F[i，j]就是这两段各自最大值中的最大值。于是我们得到了状态转移方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。

代码如下：

 

void RMQ(int n){
  for(int j=1;j<20;j++)
    for(int i=1;i<=n;i++)
      if(i+(1<<j)-1<=n){
        maxn[i][j]=max(maxn[i][j-1],maxn[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        minn[i][j]=min(minn[i][j-1],minn[i+(1<<(j-1))][j-1]);
      }
}

状态转移方程的含义是：先更新所有长度为F[i,0]即1个元素，然后通过2个1个元素的最值，获得所有长度为F[i,1]即2个元素的最值，然后再通过2个2个元素的最值，获得所有长度为F[i,2]即4个元素的最值，以此类推更新所有长度的最值。

这里如果是i在外，j在内的话，我们更新的顺序就是F[1,0],F[1,1],F[1,2],F[1,3],表示更新从1开始1个元素，2个元素，4个元素，8个元素（A[0],A[1],....A[7]）的最值，这里F[1,3] = max(max(A[0],A[1],A[2],A[3]),max(A[4],A[5],A[6],A[7]))的值，

但是我们根本没有计算max(A[0],A[1],A[2],A[3])和max(A[4],A[5],A[6],A[7])，所以这样的方法肯定是错误的。

（二）查询

假如我们需要查询的区间为(i,j)，那么我们需要找到覆盖这个闭区间(左边界取i，右边界取j)的最小幂（可以重复，比如查询5，6，7，8，9，我们可以查询5678和6789）

因为这个区间的长度为j - i + 1,所以我们可以取k=log2( j - i + 1)，则有：RMQ(A, i, j)=max{F[i , k], F[ j - 2 ^ k + 1, k]}，for example：要求区间[2，8]的最大值，k = log2（8 - 2 + 1）= 2

即求max(F[2, 2]，F[8 - 2 ^ 2 + 1, 2]) = max(F[2, 2]，F[5, 2])；

ps：

<<运算符和+-运算符的优先级

比如这个表达式：5 - 1 << 2是多少？

答案是：4 * 2 * 2 = 16。所以我们要写成5 - (1 << 2)才是5-1 * 2 * 2 = 1

 

本题代码如下：　　　　

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int F[10000][15],a[10000];
void RMQ(int n){
  int i,j;
  for(i=1;i<=n;i++)
    F[i][0]=a[i];
    for(j=1;j<=15;j++){
      for(i=1;i<=n;i++)
        if(i+(1<<j)-1<=n){
            F[i][j]=max(F[i][j-1],F[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
    }
}
int main(){
  ios::sync_with_stdio(false);
  int num,i,j,q,l,r,k;
  cin>>num;
  for(i=1;i<=num;i++) cin>>a[i];
  RMQ(num);
  cin>>q;
  while(q--){
    cin>>l>>r;
    l++;
    r++;
    k=log2(r-l+1);
    cout<<max(F[l][k],F[r-(1<<k)+1][k])<<endl;
  }
    return 0;
}