线段树略解

简介

线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。

使用线段树可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数，时间复杂度为O(logN）。

比如讲一个有4个数的线段树，是长这个样子的：

一号节点，代表着区间1~4

二号节点，代表区间1~2

三号节点，代表区间3~4

以此类推。。。。。。

很容易发现，对于n号节点来说，n×2代表着它的区间的前半段，n×2+1代表着它的区间的后半段。

线段树构造

就是用到递归：先设left=1,right=n，然后每一次递归，left、mid和mid+1、right。

inline void pushup(register int x)
{
    sum[x]=sum[x<<1]+sum[x<<1|1];
}
inline void build(register int x,register int l,register int r)
{
    if(l==r)
    {
        sum[x]=val[l];
        tag[x]=0;
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    build(x<<1,l,mid);
    build(x<<1|1,mid+1,r);
    pushup(x);
}

下文pushdown操作基于区间修改

线段树单点修改

单点修改就是每到一个节点，看这个节点代表着的区间包括不包括这个点，包括就加上。

inline void change(register int x,register int l,register int r,register int pos,register int v)
{
	if(l==r)
	{
		sum[x]=v;
		return;
	}
	if(tag[x])
        pushdown(x,l,r);
	int mid=l+r>>1;
	if(pos<=mid)
		change(x<<1,l,mid,pos,v);
	else
		change(x<<1|1,mid+1,r,pos,v);
	pushup(x);
 } 

线段树单点查询

就是从根节点，一直搜索到目标节点，然后一路上都加上就好了。

inline ll query(register int x,register int l,register int r,register int pos)
{
	if(l==r)
		return sum[x];
	if(tag[x])
		pushdown(x,l,r);
	int mid=l+r>>1;
	if(pos<=mid)
		return query(x<<1,l,mid,pos);
	else
		return query(x<<1|1,mid+1,r,pos);
}

线段树区间修改

区间修改就是，每修改到一个区间，有三种选择：

1、如果当前区间完全属于要加的区间，那么这个区间，也就是节点加上，然后return；

2、如果这个区间的right>目标区间的left，那么查询这个区间；

3、如果这个区间的left<目标区间的right，也查询这个区间;

inline void pushdown(register int x,register int l,register int r)
{
    int ls=x<<1,rs=x<<1|1,mid=l+r>>1;
    sum[ls]+=(mid-l+1)*tag[x];
    sum[rs]+=(r-mid)*tag[x];
    tag[ls]+=tag[x];
    tag[rs]+=tag[x];
    tag[x]=0;
}
inline void change(register int x,register int l,register int r,register int L,register int R,register int k)
{
    if(L<=l&&r<=R)
    {
        sum[x]+=(r-l+1)*k;
        tag[x]+=k;
        return;
    }
    if(tag[x])
        pushdown(x,l,r);
    int mid=l+r>>1;
    if(L<=mid)
        change(x<<1,l,mid,L,R,k);
    if(R>=mid+1)
        change(x<<1|1,mid+1,r,L,R,k);
    pushup(x);
}

线段树区间查询

和线段树区间修改相似，分三种情况：

1、如果这个区间被完全包括在目标区间内，那么加上这个区间的和，然后return；

2、如果这个区间的right>目标区间的left，那么查询这个区间；

3、如果这个区间的left<目标区间的right，也查询这个区间;

inline ll query(register int x,register int l,register int r,register int L,register int R)
{
    if(L<=l&&r<=R)
        return sum[x];
    if(tag[x])
        pushdown(x,l,r);
    ll res=0;
    int mid=l+r>>1;
    if(L<=mid)
        res+=query(x<<1,l,mid,L,R);
    if(R>=mid+1)
        res+=query(x<<1|1,mid+1,r,L,R);
    return res;
}

线段树的复杂度怎么样呢？

每次操作为(O(log n))

总复杂度(O(m log n))

（n为总长度，m为查询数量）

完整代码（Luogu P3372 【模板】线段树 1）

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 100005
using namespace std;
inline ll read()
{
    register ll x=0,f=1;register char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
inline void write(register ll x)
{
    if(!x)putchar('0');if(x<0)x=-x,putchar('-');
    static int sta[36];int tot=0;
    while(x)sta[tot++]=x%10,x/=10;
    while(tot)putchar(sta[--tot]+48);
}
ll val[N];
ll sum[N<<3];
ll tag[N<<3];
inline void pushup(register int x)
{
    sum[x]=sum[x<<1]+sum[x<<1|1];
}
inline void build(register int x,register int l,register int r)
{
    if(l==r)
    {
        sum[x]=val[l];
        tag[x]=0;
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    build(x<<1,l,mid);
    build(x<<1|1,mid+1,r);
    pushup(x);
}
inline void pushdown(register int x,register int l,register int r)
{
    int ls=x<<1,rs=x<<1|1,mid=l+r>>1;
    sum[ls]+=(mid-l+1)*tag[x];
    sum[rs]+=(r-mid)*tag[x];
    tag[ls]+=tag[x];
    tag[rs]+=tag[x];
    tag[x]=0;
}
inline void change(register int x,register int l,register int r,register int L,register int R,register int k)
{
    if(L<=l&&r<=R)
    {
        sum[x]+=(r-l+1)*k;
        tag[x]+=k;
        return;
    }
    if(tag[x])
        pushdown(x,l,r);
    int mid=l+r>>1;
    if(L<=mid)
        change(x<<1,l,mid,L,R,k);
    if(R>=mid+1)
        change(x<<1|1,mid+1,r,L,R,k);
    pushup(x);
}
inline ll query(register int x,register int l,register int r,register int L,register int R)
{
    if(L<=l&&r<=R)
        return sum[x];
    if(tag[x])
        pushdown(x,l,r);
    ll res=0;
    int mid=l+r>>1;
    if(L<=mid)
        res+=query(x<<1,l,mid,L,R);
    if(R>=mid+1)
        res+=query(x<<1|1,mid+1,r,L,R);
    return res;
}
int main()
{
    int n=read(),m=read();
    for(register int i=1;i<=n;++i)  
        val[i]=read();
    build(1,1,n);
    while(m--)
    {
        int opt=read();
        if(opt==1)
        {
            int l=read(),r=read();
            ll k=read();
            change(1,1,n,l,r,k);
        }
        else
        {
            int l=read(),r=read();
            write(query(1,1,n,l,r));
            printf("
");
        }
    }
    return 0;
 }