• 错排问题


    错排问题 就是一种递推式,不过它比较著名且常用,所以要熟记!


    方法一:  n各有序的元素应有n!种不同的排列。如若一个排列式的所有的元素都不在原来的位置上,则称这个排列为错排。任给一个n,求出1,2,……,n的错排个数Dn共有多少个。 递归关系式为:D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2)) D(1)=0,D(2)=1 可以得到: 错排公式为
     f(n) = n![1-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)^n*1/n!]  其中,n!=1*2*3*.....*n, 特别地,有0!=0,1!=1.
    解释:  n 个不同元素的一个错排可由下述两个步骤完成:  第一步,“错排” 1 号元素(将 1 号元素排在第 2 至第 n 个位置之一),有 n - 1 种方法。  第二步,“错排”其余 n - 1 个元素,按如下顺序进行。视第一步的结果,若1号元素落在第 k 个位置,第二步就先把 k 号元素“错排”好, k 号元素的不同排法将导致两类不同的情况发生: 1、 k 号元素排在第1个位置,留下的 n - 2 个元素在与它们的编号集相等的位置集上“错排”,有 f(n -2) 种方法; 2、 k 号元素不排第 1 个位置,这时可将第 1 个位置“看成”第 k 个位置(也就是说本来准备放到k位置为元素,可以放到1位置中),于是形成(包括 k 号元素在内的) n - 1 个元素的“错排”,有 f(n - 1) 种方法。据加法原理,完成第二步共有 f(n - 2)+f(n - 1) 种方法。  根据乘法原理, n 个不同元素的错排种数  f(n) = (n-1)[f(n-2)+f(n-1)] (n>2) 。 
    证毕。
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