第三次作业

2015-09-211.参考书《数据压缩导论（第四版）》page 100 的第五题和第六题

5、给定如表4-9所示的概率模型，求出序列a₁a₁a₃a₂a₃a₁的实质标签。

     表4-9 习题5、习题6的概率模型

字母	概率
a1	0.2
a2	0.3
a3	0.5

 

 

 

 

解：根据题意：从概率模型可知：

映射a1<=>1,a2<=>2,a3<=>3

所以cdf：Fx(1)=0.2,

            Fx(2)=0.5,

            Fx(3)=1.0

Fx(K)=0,K<=0,Fx(K)=1,K>3

我们可以利用公式确定标签所在区间的上下限，将u⁽⁰⁾初始化为1，将L⁽¹⁾初始化为0，该序列的第一个元素为a1，

 上界：U⁽⁰⁾=1,   下界：L⁽⁰⁾=0

    L^{(1)=L(1-1)+(u(1-1)-L(1-1))Fx(1-1)=0+(1-0)0=0}

     u^{(1)=L(1-1)+(u(1-1)-L(1-1))Fx(1)=0+(1-0)0.2=0.2}

上界：U⁽¹⁾=0.2,   下界：L⁽¹⁾=0

    L^{(2)=L(2-1)+(u(2-1)-L(2-1))Fx(1-1)=0}

     u^{(2)=L(2-1)+(u(2-1)-L(2-1))Fx(1)=0+（0.2-0)0.2=0.04}

上界：U⁽²⁾=0.04,   下界：L⁽²⁾=0

   L^{(3)=L(3-1)+(u(3-1)-L(3-1))Fx(3-1)=0+(0.04-0)0.5=0.02}

   u^{(3)=L(3-1)+(u(3-1)-L(3-1))Fx(3)=0+(0.04-0)1.0=0.04}

上界：U⁽³⁾=0.04,   下界：L⁽³⁾=0.02

   L^{(4)=L(4-1)+(u(4-1)-L(4-1))Fx(2-1)=0.02+(0.04-0.02)0.2=0.024}

   u^{(4)=L(4-1)+(u(4-1)-L(4-1))Fx(2)=0.02+(0.04-0.02)0.5=0.03}

上界：U⁽⁴⁾=0.03,   下界：L⁽⁴⁾=0.024

   L^{(5)=L(5-1)+(u(5-1)-L(5-1))Fx(3-1)=0.024+(0.03-0.024)0.5=0.027}

   u^{(5)=L(5-1)+(u(5-1)-L(5-1))Fx(3)=0.024+(0.03-0.024)1.0=0.03}

上界：U⁽⁵⁾=0.03,   下界：L⁽⁵⁾=0.027

   L^{(6)=L(6-1)+(u(6-1)-L(6-1))Fx(1-1)=0.027+(0.03-0.027)0=0.027}

   u^{(6)=L(6-1)+(u(6-1)-L(6-1))Fx(1)=0.027+(0.03-0.027)0.2=0.0276} 

上界：U⁽⁶⁾=0.0276,   下界：L⁽⁶⁾=0.027

 所以，生成a1a1a3a2a3a1的实质标签为：

T_x(113231)= ( u⁽⁶⁾ + l⁽⁶⁾   )/2

                 =(0.0276+0.027)/2

                  =0.0273

6、对于表4-9给出的概率模型，对于一个标签为0.63215699的长度为10的序列进行编码。

        表4-9

字母	概率
a1	0.2
a2	0.3
a3	0.5

 

 

 

 解：根据题意，对a1,a2,a2进行划分，首先

从概率模型可知：，

映射a1<=>1,a2<=>2,a3<=>3

所以cdf：Fx(1)=0.2,

            Fx(2)=0.5,

            Fx(3)=1.0

Fx(K)=0,K<=0,Fx(K)=1,K>3

所以从概率模型可以看出

a1的区间段是[0，0.2）

a2的区间段是[0.2，0.5）

a3的区间段是[0.5，1.0）

把a3的区间段划分，有：1.0-0.5=0.5

所以：0.5*0.2=0.1,0.5*0.3=0.15,0.5*0.5=0.25

得新的分段区间为：

0.1+0.5=0.6

0.6+0.15=0.75

0.75+0.25=1.0

得到的新区间按a2来划分，有：0.75-0.6=0.15

所以：0.15*0.2=0.03,0.15*0.3=0.045,0.15*0.5=0.075

得到的分段区间为：

0.03+0.6=0.63

0.63+0.045==0.675

0.675+0.075=0.75

得到的新区间按a2来划分，有：0.675-0.63=0.045

所以：0.045*0.2=0.009,0.045*0.3=0.0135,0.045*0.5=0.0225

得到分段区间为：

0.009+0.63=0.639

0.639+0.0135=0.6525

0.6525+0.0225=0.675

得到的区间按a1来划分，有：0.639-0.63=0.009

0.009*0.2=0.0018,0.009*0.3=0.0027,0.009*0.50=0.0045

0.0018+0.63=0.6318

0.6318+0.0027=0.6345

0.6345+0.0045=0.639

得到的区间按a2来划分，有：0.6345-0.6318=0.0027

0.0027*0.2=0.00054,0.0027*0.3=0.00081,0.0027*0.50=0.00135

0.00054+0.6318=0.63234

0.63234+0.00081=0.63315

0.63315+0.00135=0.6345

得到的区间按a1来划分，有：0.63234-0.6318=0.00054

0.00054*0.2=0.000108,0.00054*0.3=000162,0.00054*0.50=0.00027

0.000108+0.6318=0.631908

0.631908+0.000162=0.63207

0.63207+0.00027=0.63234

得到的区间按a3来划分，有：0.63234-0.63207=0.00027

0.00027*0.2=0.000054,0.00027*0.3=0.000081,0.00027*0.50=0.000135

0.000054+0.63207=0.632124

0.632124+0.000081=0.632205

0.632205+0.000135=0.63234

得到的区间按a2来划分，有：0.632205-0.63124=0.000965 

0.000965 *0.2=0.000193,0.000965 *0.3=0.0002895,0.000965 *0.50=0.0004825

0.000193+0.63124=0.631433

0.0002895+0.631433=0.6317225

0.6317225=0.0004825=0.632205

得到的区间按a2来划分,0.6317225-0.631433=0.0002895

0.0002895 *0.2=0.0005790,0.0002895 *0.3=0.0008685,0.0002895*0.50=0.00014460

0.0005790+0.631433=0.632155

0.632017+0.0008685=0.632164

0.6328805+0.00014460=0.6330251

得到的区间按a2来划分,0.632155-0.632124=0.000031

0.000031 *0.2=0.0000062,0.000031*0.3=0.0000063,0.000031*0.50=0.0000155

0.0000062+0.631433=0.6321612

0.6321612+0.0000063=0.6321675

0.631455+0.0000155=0.632183

所以，综上所述，标签为0.63215699的长度为10的序列的编码为

a3a2a2a1a2a1a3a2a2a3