计算几何这种东西qwq一开始真的觉得恶心qwq（主要是总觉得为啥画图那么直观的东西非要写一大堆式子来求qwq真的难受qwq）
但其实静下心来学习的话感觉还是很妙的ovo题目思考起来也十分好玩ovo
前置技能
学习凸包需要一点前置技能：极角，向量点积，向量叉积
1.极角
在平面上取一定点(O)，从(O)引一条水平射线(Ox)，规定方向自左至右，再选定一个长度单位并规定角旋转的正方向（通常取逆时针方向），这样就构成了一个极坐标系，其中(O)叫做极点，射线(Ox)叫做极轴
在极坐标系中，平面上任意一点到极点的连线和极轴的夹角叫做极角
2.向量点积
一般写作：(vec a ullet vec b)，几何定义为
其中( heta)为两个向量的夹角，该定义只针对二维和三维（其他的。。暂时不需要用到所以就先不写了qwq），其实可以简单理解为第一个向量投影到第二个向量上的长度（就是作垂直啦其实），所以其实点积是个标量
特别的，如果是在二维平面中，两个向量(vec a = (x_1,y_1))和(vec b = (x_2,y_2))的点积可以表示为
点积满足交换律
3.向量叉积
一般写作：(vec a × vec b)，定义为
其中( heta)为两个向量的夹角，简单理解的话就是两个向量围成的平行四边形的面积（但是是有正负的）
与点积不同的是，叉积是个矢量，带方向的
在二维平面中，两个向量(vec a = (x_1,y_1))和(vec b = (x_2,y_2))的叉积数值上可以表示为
叉积不满足交换律，交换后的结果方向与原来相反（其实就是多个负号）
点积和叉积的几何意义十分好用，在题目中的应用很广泛，用起来也是很灵活的（具体还是要看题目说啦qwq不然都是空话）
好的然后我们正式开始讲凸包qwq
graham算法
这个算法的思路十分简单粗暴，就是首先找到最下面最左边的那个点（先按照(y)排序有相同的再看(x)），然后把这个点定为极点，把剩下的点按照极角排序，极角相同就按照到极点的距离排，然后用一个栈记录凸包上的点，O(n)扫一遍，如果说当前的点在目前围成的凸包外，那么就说明栈顶的点应该在凸包内，一直退栈直到满足当前点在凸包上为止，再将当前点进栈，然后再看下一个点
最后栈中的就是所有凸包上面的点啦ovo
现在的问题就是怎么求极角以及判断当前点的位置
这里有一个非常好的结论，(vec a)如果满足(vec a × vec b > 0)，那么说明(vec b)在(vec a)的逆时针方向，反之就是在顺时针
那么极角其实我们可以直接用叉积来判断就好了，如果说两个向量的叉积(>0)，那么前者的极角一定小于后者，如果等于0说明在同一条直线上，就用距离判断
同样的我们就可以快速判断一个点是否在凸包外了
（这里是逆时针扫的）我们记当前栈顶的点为(s_0)，栈顶的下一个点为(s_1)，当前点为(x)
画一下图就能发现，(x)在当前的凸包上当且仅当(overrightarrow{s_1x})在(overrightarrow{s_1s_0})的逆时针方向，也就是两个向量的叉积要大于0，这样就能快速判断(x)的位置了
然后就这么一路扫一路操作就能得到凸包啦ovo
如果说要分别求得上凸包和下凸包，那就一开始按照(x)排序相同再按照(y)排序，然后扫的时候用两个栈分别记录上下凸包，判断条件相反（一个是叉积<=0就退栈，一个是>=0就退栈）就ok了
值得注意的是，这里的等号不能去掉，否则遇到多个坐标相同的点会出问题
旋转卡壳
提到凸包就不能不提到这个算法啦
以经典的求凸包直径做例子，首先讲一下大体思路
首先可以发现，一个点与凸包中其他点的连线长度是一个单峰函数，所以如果要枚举的话一旦发现答案开始递减了就可以停止了，普通的暴力在枚举下一个点的答案的时候，会又从最靠近的那个点开始扫，但其实我们画个图观察一下会发现其实不用，只要把上一个点（记作(x)）开始递减的那个点（记作(i)) 当做起点开始扫就可以了。原因的话是显然在(i)之前的那些点到(x)的距离会比到当前点的距离要长，所以根本就没有扫的必要了（只会直观证明qwq严格证明的话。。。不会qwq）
这样一来我们就可以线性处理出直径啦ovo
对于其他的问题，思路其实差不多，主要还是利用好单峰函数这个特点避免掉不必要的操作
动态加点
如果说是动态加点的话，维护起来差不多，一点小改动
将要加进来的点记作(x)，我们先在当前的凸包上找到(x)前面和后面的两个点，形象理解就是能将(x)夹在中间的两个点（额。。其实实现起来用lower_bound就好了），然后从这里开始重新模拟一遍graham中退栈进栈的过程就好了
应用
除了各种奇妙几何题之外，凸包还有一个很大的用处就是优化，最典型的例子就是斜率优化
额不过这种东西的话。。好像还是要具体题目具体分析qwq反正总的应该就是转成点的形式然后乱搞就好了嗯qwq（好吧其实这种题目的重点应该都是推式子吧哈哈哈。。qwq）