欧几里德证明“质数有无穷多个”
假设质数是有限个，不妨设其为 2, 3, 5, ..., p，即 p 为最大质数
令 q = 2 x 3 x 5 x ... x p + 1
若 q 为质数，则 q > p，与 p 为最大质数矛盾
若 q 为合数，则找其约数（分解质因数），得到 q 对 2, 3, 5, ..., p 取余，均得 1，与 q 为合数矛盾
=> 假设不成立
=> 质数有无穷多个
埃拉托色尼的“筛选法”
步骤
- 列出
1到n - 求出
sqrt(n) - 划掉小于
sqrt(n)的质数的倍数 - 剩下的数，除
1以外均是质数
举例
以 16 为例
step1
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16
step2
sqrt(16) = 4
step3
小于 4 的质数为 2, 3
16 以内 2 的倍数为 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16
16 以内 3 的倍数为 6, 9, 12, 15
剩下的数字为 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13
step4
除了 1，剩余的 2, 3, 5, 7, 11, 13 就是 16 以内全部的质数
欧拉乘积公式
- 欧拉通过研究下方这个级数公式
[epsilon(s) = frac{1}{1^s} + frac{1}{2^s} + frac{1}{3^s} + ...
]
- 得到了欧拉乘积公式（其中
p是全体质数）
[epsilon(s) = prodlimits_{p}(1 - p^{-s})^{-1}
]
即
[epsilon(s) = frac{1}{1 - frac{1}{2^s}} imes frac{1}{1 - frac{1}{3^s}} imes frac{1}{1 - frac{1}{5^s}} imes ...
]
- 欧拉还发现一个规律（
π(x)的意思是小于x的所有的质数的个数）
[pi(x) approx frac{x}{lnx}
]
高斯的发现
- 质数的密度
[
ho(x) approx frac{1}{lnx}
]
勒让德的“素数定理”
- 1798 年，勒让德提出“素数猜想”
[pi(x) = int_0^x frac{dt}{lnt} + C
]
- 1849 年，高斯说他在 1792 年左右就发现了这个规律，于是高斯与勒让德共享这个结论
- 1896 年，两位年轻的数学家阿达马(J.Hadamard)和德·拉·瓦莱布桑(C. J. de la Vallée Poussin)按照黎曼(B. Riemann)的思路，各自独立地证明了素数定理
- 1949 年，两位年轻的数学家——31岁的赛尔伯格(A. Selberg)和35岁的爱多士(P. Erdös)分别独立地证明了素数定理（用了新的方法）
科赫的补充
- 若“黎曼猜想”被证实，则余项
[C approx sqrt{x} lnx
]
为何除到 sqrt(n)
设 n 为合数
不妨设 n = a x b，其中 a, b 均为大于 1 的自然数
=> a, b 之中总有一个数小于或等于 sqrt(n)，不妨设 a <= sqrt(n)
除了 sqrt(n)（若存在），其他的 a, b 都是一大一小的
=> b >= sqrt(n)
即，若大于 1 的自然数 n 没有小于 sqrt(n) 的因数，则其也不会有大于 sqrt(n) 的因数
所以只检查小于或等于 sqrt(n) 的因数即可
参考
- 李永乐老师的公开课：>>> 传送门