求解最长回文串之Manachar算法
问题类型：
输入一个字符串，求出其中最大的回文子串。子串的含义是：在原串中连续出现的字符串片段。
回文的含义是：正着看和倒着看相同，如abba和yyxyy。
这类问题对于一些小数据可以暴力枚举回文的中心点求解（处理好奇数和偶数长度的回文即可） 但是时间复杂度较高
利用manachar算法可以在O（n）时间内得到正确的答案
算法基本要点：
首先用一个非常巧妙的方式，将所有可能的奇数/偶数长度的回文子串都转换成了奇数长度：
在每个字符的两边都插入一个特殊的符号。比如 abba 变成 #a#b#b#a#， aba变成 #a#b#a#。
为了进一步减少编码的复杂度，可以在字符串的开始加入另一个特殊 字符，这样就不用特殊处理越界问题，比如$#a#b#a#。
下面以字符串12212321为例，经过上一步，变成了 S[] = "$#1#2#2#1#2#3#2#1#";
然后用一个数组 P[i] 来记录以字符S[i]为中心的最长回文子串向左/右扩张的长度（包括S[i]），比如S和P的对应关系：
S # 1 # 2 # 2 # 1 # 2 # 3 # 2 # 1 #
P 1 2 1 2 5 2 1 4 1 2 1 6 1 2 1 2 1
(p.s. 可以看出，P[i]-1正好是原字符串中回文串的总长度）
如何得到p数组嘞？
下面计算P[i]，该算法增加两个辅助变量id和mx，其中id表示最大回文子串中心的位置，mx则为id+P[id]，也就是最大回文子串的边界。
这个算法的关键点就在这里了：如果mx > i，那么P[i] >= MIN(P[2 * id - i], mx - i)。
“庖丁解牛”：
当 mx - i > P[j] 的时候，以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中，由于 i 和 j 对称，以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中，所以必有 P[i] = P[j]，见下图。
当 P[j] > mx - i 的时候，以S[j]为中心的回文子串不完全包含于以S[id]为中心的回文子串中，但是基于对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是说以S[i]为中心的回文子串，其向右至少会扩张到mx的位置，也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否对称，就只能一个一个匹配了。
对于 mx <= i 的情况，无法对 P[i]做更多的假设，只能P[i] = 1，然后再去匹配了
下面给出原文，进一步解释算法为线性的原因
if(mx > i) p[i] = (p[2*id - i] < (mx - i) ? p[2*id - i] : (mx - i)); else p[i] = 1;
下面以hdu 3068 最长回文 这道题为例 给大家看下manachar算法的具体应用
最长回文
Time Limit: 4000/2000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
回文就是正反读都是一样的字符串,如aba, abba等
两组case之间由空行隔开(该空行不用处理)
字符串长度len <= 110000
1 #include <stdio.h> 2 #include <string.h> 3 #include <algorithm> 4 using namespace std; 5 6 char s[110010],s1[220020]; 7 int p[220020]; 8 int manachar() 9 { 10 int i,j = 0; 11 s1[j ++] = '@'; s1[j ++] = '#'; 12 for (i = 0; s[i]; i ++) // 预处理字符串 13 { 14 s1[j ++] = s[i]; 15 s1[j ++] = '#'; 16 } s1[j] = ' '; 17 18 int id = 0, mx = 0, len = 0; 19 for (i = 1; i < j; i ++) 20 { 21 if (i < mx) p[i] = min(mx-i,p[2*id-i]); 22 else p[i] = 1; 23 while (s1[i+p[i]] == s1[i-p[i]]) p[i] ++; // 更新p[i]的值（回文的长度） 24 if (i+p[i] > mx){ 25 id = i; // 更新回文的中心点 26 mx = id+p[i]; 27 } 28 len = max(len,p[i]); // 最长回文串的长度 29 } 30 return len; 31 } 32 int main () 33 { 34 while (~scanf("%s",s)) 35 { 36 int len = manachar(); 37 printf("%d ",len-1); 38 } 39 return 0; 40 }
还有一种预处理的方法，可以直接在原串上处理，不用在重新申请一个数组
不过要注意的是定义数组的时候，数组的大小要是字符串长度的二倍。
1 #include <stdio.h> 2 #include <string.h> 3 #include <algorithm> 4 using namespace std; 5 6 char s[2000020]; 7 int p[2000020]; 8 int manachar() 9 { 10 int len = strlen(s); 11 for (int i = len; i >= 0; i --) 12 { // 直接在原串上预处理 13 s[i*2+2] = s[i]; 14 s[i*2+1] = '#'; 15 } s[0] = '@'; 16 17 int id = 0, mx = 0, ans = 0; 18 for (int i = 0; i < len*2+2; i ++) 19 { 20 p[i] = i<mx ? min(mx-i,p[id*2-i]) : 1; 21 while (s[i+p[i]] == s[i-p[i]]) p[i] ++; 22 if (i+p[i] > mx) 23 { 24 id = i; 25 mx = i + p[i]; 26 } 27 ans = max(ans,p[i]); 28 } 29 return ans-1; 30 } 31 int main () 32 { 33 while (~scanf("%s",s)) 34 { 35 int ans = manachar(); 36 printf("%d ",ans); 37 } 38 return 0; 39 }
本文参考：http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/10/04/2711527.html