77. 组合
题目来源：力扣（LeetCode）https://leetcode-cn.com/problems/combinations
题目
给定两个整数 n 和 k，返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。
示例:
输入: n = 4, k = 2
输出:
[
[2,4],
[3,4],
[2,3],
[1,2],
[1,3],
[1,4],
]
解题思路
思路：组合数
先审题，题目要求给定 n，返回 1...n 中所有可能的 k 个数组合。我们可以发现，这其实就是高中数学概念上的组合数问题。
组合的定义： 从 n 个不同元素中，任取 m（$m leq n$）个不同元素组成一组，称为组合。
组合数的定义： 从 n 个不同元素中，任取 m（$m leq n$）个不同元素的所有组合的个数，叫做组合数，记为 $C_{n}^{m}$。
组合数有这样一个性质：
$$C_{n+1}^{m} = C_{n}^{m} + C_{n}^{m-1}$$
这里我们令 n' = n+1，那么上面的式子则会变成：
$$C_{n'}^{m} = C_{n'-1}^{m} + C_{n'-1}^{m-1}$$
其实也就等同于：
$$C_{n}^{m} = C_{n-1}^{m} + C_{n-1}^{m-1}$$
这里我们可以这样去理解上面的式子。假设现在从 n 个元素选 m 个元素，也就是 $C_{n}^{m}$。这里，我们先选择一个需要特殊考虑的元素，那么就会有以下两种情况：
- 当选取的元素中不含这个特殊元素，那么就需要在剩余的 n-1 个元素中选出 m 个元素，也就是 $C_{n-1}^{m}$；
- 当选取的元素中含有这个特殊元素，那么就需要从剩余的 n-1 个元素中选出 m-1 个元素，也就是 $C_{n-1}^{m-1}$ 。
最终，将两种情况结合起来，从 n 个元素选 m 个元素的情况。
那么就按照这个思路，进行实现，这里每次选取特殊元素为可选元素集合中最小的元素。
具体代码实现如下（递归方法）。
from typing import List
class Solution:
def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:
ans = []
tmp = []
def helper(special, n, k):
# k 个元素选择完成，添加到返回列表中
if k == 0:
# 这里注意添加的是副本
# 具体原因，建议自行调试查看
ans.append(tmp[::])
return
# 表示剩余元素不够选择 k 个元素，直接返回
if k > n:
return
tmp.append(special)
helper(special+1, n-1, k-1)
tmp.pop()
helper(special+1, n-1, k)
helper(1, n, k)
return ans
# n = 4
# k = 2
# solution = Solution()
# ans = solution.combine(n, k)
# print(ans)
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