【数学】数论进阶-常见数论函数

数论进阶-常见数论函数

参考资料：洛谷2018网校夏季省选基础班SX-3数论进阶课程及课件

一、数论函数的定义

数论函数指定义域为正整数集的函数

二、积性函数与完全积性函数

2.1 数论函数的定义

对于一个数论函数 (f(x))，若 (forall~a,b~in~Z^+,s.t.~~a~perp~b) 满足 (f(ab)~=~f(a)~ imes~f(b))，则称 (f(x)) 为一个积性函数

若 (forall~a,b~in~Z^+)，都有 (f(ab)~=~f(a)~ imes~f(b))，则称 (f(x)) 是一个完全积性函数

2.2 积性函数的性质

若 (f(x)) 是一个积性函数，且 (x) 的唯一分解式为 (x~=~p_{1}^{c_1}~p_{2}^{c_2}~dots~p_k^{c_k})，则 (f(x)~=~prod_{i=1}^{k}~f(p_i^{c_i}))

对于证明，显然每一项之间互质，于是按照积性函数的定义即可证明

注意这个性质是 (f(x)) 是积性函数的充要条件

三、简单的常见数论函数

3.1 欧拉函数

设 (phi(x)) 为在模 (x) 域下的简化剩余系大小，称为欧拉函数，显然欧拉函数是一个数论函数。并且欧拉函数是一个积性函数。

证明留作作业我不会

3.2 幺元函数

幺元函数 (e(x)~=~[x~=~1])。我们约定中括号返回一个布尔量，中括号内表达式为真返回(1)，否则返回(0)

3.3 常函数 1

常函数 (one(x)~=~1)。不管自变量如何取值函数值恒为 (1)

3.4 标号函数

标号函数 (id(x)~=~x)。即返回自变量本身

3.5 除数函数

(sigma(k,x)~=~sum_{d mid x} d^k)

当 (k~=~1) 时，该函数表示 (x) 的因子之和

当 (k~=~0) 时，该函数表示 (x) 的因子个数。

当 (k) 省略时默认为 (1)

容易证明上面五个函数都是积性函数，除第一个和第五个外都是完全积性函数

四、莫比乌斯函数

4.1 莫比乌斯函数的定义

约定莫比乌斯函数的符号为 (mu)。以下设 (x) 的唯一分解式为 (x~=~p_{1}^{c_1}~p_{2}^{c_2}~dots~p_k^{c_k})。

则莫比乌斯函数为

[mu(x)~=~egin{cases} 1 & x~=~1\ (-1)^m & forall i~in[1,k],c_i~=~1\ 0 & otherswise end{cases}]

显然 (mu(x)~=~prod_{i=1}^k mu(p_{i}^{c_i}))

于是莫比乌斯函数是一个积性函数。容易验证它不是一个完全积性函数。

4.2 性质

(sum_{d mid n}mu(d)~=~[n~=~1])

证明

(n~=~1) 时显然成立，下证 (n~ eq~1) 的情况

设 (n) 的唯一分解式为 (n~=~prod_{i=1}^k p_{i}^{c_i})

设 (n_0~=~prod_{i=1}^{k} p_i)。即 (n_0) 是 (n) 最大的不含平方因子的因数

(forall dmid n~land~mu(d)~ eq~0) 显然 (d mid n_0)

当 (d) 不含 (n) 的质因子 (p_0) 时，有

[mu(dp_0)~=~mu(d)~ imes~mu(p_0)~=~-mu(d) ]

考虑非 (n_0) 的因子的数，因为含有平方因子，对答案都没有贡献，于是有

[sum_{d mid n} mu(d)~=~sum_{d mid~n_0} mu(d) ]

我们将这些数 (d) 分成两类，第一类含有 (p_0) ，第二类不含 (p_0)。显然这两类有一一对应关系。因为第一类的每个数乘 (p_0) 就可以得到第二类中的所有数

于是

[sum_{d mid n} mu(d)~=~sum_{d mid~n_0} mu(d)~=~sum_{d mid frac{n_0}{p_0}} (mu(d)+mu(dp_0))~=~~sum_{d mid frac{n_0}{p_0}} (mu(d)-mu(d))~=~0 ]

证毕

五、狄利克雷卷积

5.1 狄利克雷卷积的定义

设 (f) 和 (g) 都是数论函数，定义 (f) 和 (g) 的狄利克雷卷积为 (h)，记为 (h~=~f*g)

定义 (h(z)~=~sum_{x imes y = z} f(x)~ imes~g(y))

显然狄利克雷卷积拥有交换律和结合律以及乘法对加法的分配律

5.2 函数的积性

若 (f) 和 (g) 都是积性函数，则 (h) 为积性函数

证明：

设 (n) 的唯一分解式为 (n~=~prod_{i=1}^k p_{i}^{c_i})

于是有

[egin{align} h(n)~ & =~sum_{i_1=0}^{c_1}~sum_{i_2 = 0}^{c_2}~dots~sum_{i_k=0}^{c_k} (f(prod_{j=1}^k p_j^{i_j})~ imes~g(prod_{j=1} p_j^{c_j-i_j}))~~(定义)\ & =~sum_{i_1=0}^{c_1}~sum_{i_2 = 0}^{c_2}~dots~sum_{i_k=0}^{c_k} (prod_{j=1}^k f(p_{j}^{i_j})~ imes~g(p_{j}^{c_j-i_j}))~~(积性函数的性质)\ & =~prod_{s=1}^{k}~sum_{i_s=0}^{c_s} (f(p_s^{i_s})~ imes~g(p_s^{c_s-i_s}))~~(求和变换)\ & =~prod_{s=1}^{k} h(p_s^{c_s})~~(狄利克雷卷积的定义) end{align} ]

根据积性函数的性质，狄利克雷卷积为一个积性函数

5.3 对因数求和函数的可卷性 ((5.3.1))

若 (g(n)~=~sum_{d mid n} f(d))，则 (g~=~f*one)。其中 (one) 为常函数 (1)

证明上，依照狄利克雷卷积的定义，等价于每一项都乘 (1)，对答案不产生影响。

5.4 常见数论函数的狄利克雷卷积

5.4.1莫比乌斯函数

莫比乌斯函数的性质

[sum_{d mid n} mu(d)~=~0 ]

可以改写为

[mu~*~one~=~e ]

(e) 为前文提到的幺元函数

5.4.2欧拉函数

有性质

[phi~*~one~=~id ]

即

[sum_{d mid n} phi(d)~=~n ]

证明：

引理(5.4.2.1)：

(forall~p~)为质数，(r~in~Z^+)，都有(phi(p^r)~=~(p-1)~ imes~p^{r-1})。

证明：

由于(p)是一个质数，所以(~1~sim~(p^r-1)~)中有且仅有(i~ imes~p,~i~in~(0,p^{r-1})~)与(p^r)互质。

于是(phi(p^r)~=~p^r~-~p^{r-1}~=~p^{r-1}~ imes~(p~-~1)~)。

引理证毕。

欲证原式，即证

[sum_{d mid p^k} phi(d)~=~p^k ]

考虑 (p^k) 的因子有且仅有 (p^s~,~s~in~[0,k])

于是欲证上式即证

[sum_{i=0}^{k} phi(p^i) ]

根据引理，上式正确性显然。

证毕

5.5 例题

给定积性函数 (f) 和 (g)，求 (f*g) 的前 (n) 项

枚举直接暴力枚举 (f) 的前 (n) 项，然后枚举 (g) 的对应项。假如计算 (f_i~ imes~g_j) 的贡献，则一定满足 (i~ imes~j~leq~n)，于是 (j~leq~frac{n}{i})。根据调和级数，复杂度 (O(n log n))