【ML-13-3】隐马尔科夫模型ＨＭＭ--Baum-Welch（鲍姆-韦尔奇）
【ML-13-4】隐马尔科夫模型ＨＭＭ--预测问题Viterbi（维特比）算法
目录
- 基础--HMM常用概率的计算
- HMM模型参数求解概述
- Baum-Welch算法原理
- Baum-Welch算法推导
- Baum-Welch算法总结
一、基础--HMM常用概率计算
利用前向概率和后向概率，我们可以计算出HMM中单个状态和两个状态的概率公式。
1.1 单个状态的概率
求给定模型λ和观测序列Q的情况下，在时刻t处于状态si的概率，记做：
单个状态概率的意义主要是用于判断在每个时刻最可能存在的状态，从而可以得到一个状态序列作为最终的预测结果。
利用前向概率和后向概率的定义可知：
由上面两个表达式可知：
1.2 两个状态的联合概率
求给定模型λ和观测序列Q的情况下，在时刻t处于状态si并时刻t+1处于状态sj概率，记做：
1.3 上述两种求和可以得到：
二、HMM模型参数求解概述
在本篇我们会讨论HMM模型参数求解的问题，即已知观测序列Q={q1,q2,...,qT}，估计模型λ=(A,B,π)的参数，使得在该模型下观测序列P(Q|λ)最大。这个问题在HMM三个问题里算是最复杂的。在研究这个问题之前，建议先阅读这个系列的前两篇以熟悉HMM模型和HMM的前向后向算法，以及EM算法原理总结
HMM模型参数求解根据已知的条件可以分为两种情况。第一种情况较为简单，就是我们已知D个长度为T的观测序列和对应的隐藏状态序列，直接利用大数定理的结论"频率的极限是概率"，直接给出HMM的参数估计；
1.1 假设所有样本中初始隐藏状态为qi的频率计数为S(i),那么初始概率分布为：
1.2 假设样本从隐藏状态qi转移到qj的频率计数是Sij,那么状态转移矩阵求得为：
1.3 假设样本隐藏状态为qj且观测状态为vk的频率计数是qjk,那么观测状态概率矩阵为：
可见第一种情况下求解模型还是很简单的。但是在很多时候，我们无法得到HMM样本观察序列对应的隐藏序列，只有D个长度为T的观测序列，此时我们能不能求出合适的HMM模型参数呢？这就是我们的第二种情况，也是我们本文要讨论的重点。它的解法最常用的是鲍姆-韦尔奇算法（Baum-Welch），其实就是基于EM算法的求解，只不过Baum-Welch算法出现的时代，EM算法还没有被抽象出来，所以我们本文还是说鲍姆-韦尔奇算法法。这也提示我们抽象一种具体算法可能也是很重要的工程。
三、Baum-Welch算法原理
在M步，我们极大化上式，然后得到更新后的模型参数如下：
四、Baum-Welch算法推导
我们需要先计算联合分布P(Q,I；λ)的表达式如下：
E步得到的期望表达式为：
在M步要极大化上式：
- 我们看看对模型参数Π的求导。由于Π只在上式中括号里的第一部分出现，因此我们对于Π的极大化式子为：
极大化上式，使用拉格朗日乘子法：
求和相加可得：
再代入可得到：
- 极大化L，使用拉格朗日乘子法，求解aij的值：
- 同理：极大化L，使用拉格朗日乘子法，求解bij的值
- 汇总：极大化L函数，分别可以求得π、a、b的值。
五、Baum-Welch算法总结
这里我们概括总结下鲍姆-韦尔奇算法的流程。
输入： D个观测序列样本
输出：HMM模型参数
具体流程：
1)随机初始化所有的πi,aij,bij
2) 对于每个样本d=1,2,...D，用前向后向算法计算γ，ξ
3) 更新模型参数：
4) 如果πi,aij,bij的值已经收敛，则算法结束，否则回到第2）步继续迭代。
附件一：手写练习
