【读书笔记】Nice Families Of GF

目录

• Nice Families Of GF
  • rational
  • rational algebraic D-finite总览
    • 下定义
    • 逻辑关系
  • 例子
  • 更多的例子和判别法
    • 运算是否有性质？
    • 运算是否有性质？-补充
    • 判别级数不是algebraic的方法
    • 判别级数不是D-finite的方法

Nice Families Of GF

Handbook的第61页开始，大概6，7页这样

做笔记，不然学了忘

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这里讨论三个nice properties某些生成函数可能会具有的。

rational

algebraic

D-finite(also known as “differentially finite” or “holonomic”)

具有这样的性质的生成函数会有一些良性质

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rational

满足这3个之一就可以叫做rational，这3点是等价的

rational algebraic D-finite总览

下定义

想当然地看，c-recursive和P-recursive简单的区别就是递归方程的系数是不是常数

逻辑关系

可以看到D-finite是三者中最弱的
rational的生成函数=>algebraic的生成函数=>D-finite的生成函数 生成函数
逻辑关系类比上类似于

正方形=>矩形=>平行四边形 凸四边形

例子

Example	rational	algebraic	D-finite
\(\frac{1}{1-2x}\)	√	√	√
\(\frac{x}{1-x-x^2}\)	√	√	√
\(\sqrt{1+x}\)	×	√	√
\(\frac{1}{\sqrt{1-4x}}\)	×	√	√
\(e^x\)	×	×	√
\(log(1-x)\)	×	×	√
\(sin(x)\)	×	×	√
$arctan(x) $	×	×	√
\(\sqrt{1+log(1+x^2)}\)	×	×	×
\(sec(x)\)	×	×	×
\(tan(x)\)	×	×	×

更多的例子和判别法

运算是否有性质？

compositional inverse是说A(x)对于x为自变量的反函数

运算是否有性质？-补充

判别级数不是algebraic的方法

判别级数不是D-finite的方法

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书用的是handbook of enumerative combinatorics
资料来源网络