L1-006 连续因子

L1-006 连续因子 （20 分）

一个正整数 N 的因子中可能存在若干连续的数字。例如 630 可以分解为 3×5×6×7，其中 5、6、7 就是 3 个连续的数字。给定任一正整数 N，要求编写程序求出最长连续因子的个数，并输出最小的连续因子序列。

输入格式：

输入在一行中给出一个正整数 N（1<N<2​31​​）。

输出格式：

首先在第 1 行输出最长连续因子的个数；然后在第 2 行中按 因子1*因子2*……*因子k 的格式输出最小的连续因子序列，其中因子按递增顺序输出，1 不算在内。

输入样例：

630

输出样例：

3
5*6*7

此题一般有两种解法：

第一种：

从1乘到N，每乘一次判定当前乘积prd是否为N的因子，即N%prd是否为0，若为0，比较上一次乘积因子序列的长度，若大于，则记录。 不断更新乘积因子序列长度，直到最后一个因子为N。当然，最需要注意的是最外层的循环变量i判定条件必须为i<=sqrt(n),如果是i*i<=n，则最后一个测试点会不过。本人猜测可能是平台的问题。虽然看上去很暴力，但此算法最后一个测试点耗时仅5ms，目前应该是最快的算法，而且比较好理解。

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
    ll n;
    cin>>n;
    ll prd=0;//定义乘积 
    int start=0,len=0;//定义最终得到序列开始的因子，序列的长度 
    for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)//i从2到根号n 
    {
        prd=1;
        for(int j=i;prd*j<=n;j++)//从j开始一直乘到N为止，每次乘积判定是否小于等于N，若超过N，则结束循环 
        {
            prd*=j;//乘积迭代 
            if(n%prd==0&&j-i+1>len)//如果当前乘积为N的乘积因子且长度大于上一次 
            {//更新序列起始因子和长度 
                start=i;
                len=j-i+1;
            }
        }
    }
    if(start==0)//若起始因子为0，说明N为质数，因为质数=1*本身，而循环最多能表示1*本身的根号 
    {
        start=n;
        len=1;
    }
    cout<<len<<'
'<<start;
    for(int i=start+1;i<start+len;i++)//输出，如果因子只有一个只输出一个 
    cout<<'*'<<i;
    return 0;
}

第二种：

思想:从大到小乘积，一次性乘完，再判定，这样当命中所求乘积时，因为是从大到小乘积，故此时的序列长度就是最大的，然后及时跳出循环，大大减少循环次数，乘积完一轮再减少乘积长度。根据题目N的上界，13！刚好可以覆盖这个上界。于是除去1的乘积长度不超过12，虽然没有了频繁更新序列长度的操作，但是其最坏复杂度则耗时较长，一方面是都需要乘积后判定，另一方面是还是有很多不必要的乘积操作，但是就此算法而言不可避免。因为拿N=36来说，根号N=6，于是按照此算法的思想，先从2乘到13，再从3乘到14...6乘到17，然后减少乘积长度，2乘到12...6乘到16，不断减少乘积长度至1。不难发现，第一次的乘积操作2乘到13已经覆盖N的上界了，再从3乘到14也大于第一次的乘积结果，每一次的乘积的中途可能就已经满足等于N或者是N的乘积因子的条件，即假设M满足条件，则3x4x5....xMx(M+1)x(M+2)x.....14。而此算法在当前一轮乘积中，只得到最终乘到14的结果，无法得到中间的M，如果要得到M，必须在每轮乘完后的序列减少操作不断执行后才可能得到。即必须乘完3到14，4到15，5到16，6到17，减少一次长度，再乘一轮，减少一次长度，总共需要进行14-M轮乘积才能得到M。这其中的操作也大大降低了算法执行的效率。需要注意的是，乘积结果和N都必须是long long 类型，而且循环变量的上界是小于等于根号N，如果是小于会有一个点不过。这是因为根号函数返回的是double，转换为int只能向下取整。此算法最后一个测试点耗时15ms，显然比第一种慢很多。

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
    ll n;
    cin>>n;
    ll prd;
    int rootn=sqrt(n);//得到根号N 
    int flag=0,start,len;//定义是否为乘积因子的标识，乘积序列开始的因子，序列长度 
    for(len=12;len>=1;len--)//序列最长为12，递减到1 
    {
        for(start=2;start<=rootn;start++)//从当前一轮乘积因子的上界从2开始到根号N，注意一定是小于等于，否则有一个点会不过 
        {
            prd=1;
            for(int i=start;i<start+len;i++)//从当前乘积因子开始乘积，乘积len个长度 
            prd*=i;
            if(n%prd==0)//如果找到乘积因子 
            {
                flag=1;
                break;//标识，及时退出 
            }
        }
        if(flag)
        break;
    }
    if(!flag)//如果未标识为1，说明是质数 
    cout<<1<<endl<<n;
    else
    {
        cout<<len<<endl<<start;
        for(int i=start+1;i<start+len;i++)//输出，如果只有1个输出一个 
        cout<<'*'<<i;
    }
    return 0;
}