陶哲轩实分析引理10.4.1:反函数定理

设$f:X\to Y$是可逆函数，反函数为$f^{-1}:Y\to X$.设$x_0\in X,y_0\in Y$,且$y_0=f(x_0)$(它蕴含$x_0=f^{-1}(y_0)$).如果$f$在$x_0$处可微，且$f^{-1}$在$y_0$处可微，则
\begin{equation}
\label{eq:28.13.09}
(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}
\end{equation}

证明:$(f^{-1})'(y_0)=\lim_{y_1\to y_0;y_1\neq y_0}\frac{f^{-1}(y_1)-f^{-1}(y_0)}{y_1-y_0}$.设$f(x_1)=y_1$,则
\begin{equation}
(f^{-1})'(y_0)=\lim_{f(x_1)\to f(x_0);f(x_1)\neq
f(x_0)}\frac{x_1-x_0}{f(x_1)-f(x_0)}=\lim_{f(x_1)\to
f(x_0);f(x_1)\neq f(x_0)}\frac{1}{\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}}
\end{equation}
由于$f$在$x_0$处可微，且$f$是双射，因此
\begin{equation}
\label{eq:28.13.49}
\lim_{f(x_1)\to f(x_0);f(x_1)\neq
f(x_0)}\frac{1}{\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}}=\lim_{x_1\to
x_0;x_1\neq x_0}\frac{1}{f'(x_0)}
\end{equation}
$\Box$

注1:反函数定理改进版(陶哲轩实分析定理10.4.2)设$f:X\to Y$是可逆函数，反函数为$f^{-1}:Y\to X$.设$x_0\in X,y_0\in Y$,且$y_0=f(x_0)$(它蕴含$x_0=f^{-1}(y_0)$).如果$f$在$x_0$处可微，且$f'(x_0)\neq 0$，并且$f^{-1}$在$y_0$处连续，则$f^{-1}$在$y_0$处可微且

\begin{equation}
\label{eq:28.14.57}
(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}
\end{equation}

证明:由于$f$在$x_0$处可微，因此
\begin{equation}
\label{eq:28.14.43}
\lim_{x_1\to x_0;x_1\neq x_0}\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}
\end{equation}存在且不为0.设$f(x_1)=y_1$.由于$f^{-1}$在$y_0$处连续，所以当$y_1\to y_0$时，$x_1\to x_0$.因此\ref{eq:28.14.43}可以改写为
\begin{equation}
\label{eq:28.14.48}
\lim_{y_1\to y_0;y_1\neq y_0}\frac{y_1-y_0}{f^{-1}(y_1)-f^{-1}(y_0)}=\frac{1}{\frac{f^{-1}(y_1)-f^{-1}(y_0)}{y_1-y_0}}
\end{equation}
可见，\ref{eq:28.14.57}成立.

注2:在注1中，如果$f$是从$\mathbf{R}$到$\mathbf{R}$的可逆函数，则"$f^{-1}$在$y_0$处连续"这个条件是不必要的，因为当$f$是从$\mathbf{R}$到$\mathbf{R}$的可逆函数时，已经隐含了$f$和$f^{-1}$都是连续的严格单调函数(为什么?).我之所以加这条注，是因为我在陶哲轩博客上的这条评论.