多项式定理:对于正整数 $k,n$,如下成立
$$
(x_1+x_2+cdots+x_n)^k=sum frac{k!}{k_1!k_2!cdots k_n!} x_1^{k_1}x_2^{k_2}cdots x_n^{k_n},
$$
其中 $k_1,k_2,cdots,k_n$ 遍历等式 $k_1+k_2+cdots+k_n=k$.
证明:建议从组合学的观点来证明如上式子.如下式子已经说明了一切:
$$
frac{k!}{k_1!(k-k_1)!}frac{(k-k_1)!}{k_2!(k-k_1-k_2)!}cdots
frac{(k-k_1-cdots-k_{n-1})!}{k_n!0!}=frac{k!}{k_1!k_2!cdots k_n!}.
$$