调和数

调和数

调和（级）数可以指跟约数和有关的整数欧尔调和数。在数学上，第n个调和数是首n个正整数的倒数和，即

$H_n= 1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+cdots+frac{1}{n} =sum_{k=1}^n frac{1}{k}$

它也等于这些自然数的调和平均值的倒数的 $n$ 倍。它可以推广到正整数的倒数的幂之和，即 $H_n^{(m)}=sum_{k=1}^n frac{1}{k^m}$ 。

调和数的性质

根据定义，调和数满足递推关系

$H_{n+1} = H_{n} + frac{1}{n+1}$

它也满足恒等式

$sum_{k=1}^n H_k = (n+1) H_n - n$

计算

对于第n项调和数，有以下公式

$H_n = int_0^1 frac{1 - x^n}{1 - x}\,dx.$

设: $x = 1 - u\,!$ ，由此得到

$egin{align} H_n &= int_0^1 frac{1 - x^n}{1 - x}\,dx \ &=-int_1^0frac{1-(1-u)^n}{u}\,du \ &= int_0^1frac{1-(1-u)^n}{u}\,du \ &= int_0^1left[sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}inom nk u^{k-1} ight]\,du \ &= sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}inom nk int_0^1u^{k-1}\,du \ &= sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}frac{1}{k}inom nk . end{align}$

对于调和数 $H_n$ ，当n不是太大时，可以直接计算。

当n特别大时，可以进行估算。

因为 $lim_{n o infty} left(sum_{k=1}^n frac{1}{k} - ln n ight) = gamma,$

由此得到

$H_n sim ln{n}+gamma$

当n越大时，估算越精确。

更精确的估算是

$H_n sim ln{n}+gamma+frac{1}{2n}-sum_{k=1}^infty frac{B_{2k}}{2k n^{2k}}=ln{n}+gamma+frac{1}{2n}-frac{1}{12n^2}+frac{1}{120n^4}-cdots,$

其中 $B_k$ 是第k项伯努利数。

由估算看来，调和数是发散的，即： H_n 在n趋于无穷时没有极限

很早就有数学家研究，比如中世纪后期的数学家Oresme在1360年就证明了这个级数是发散的。他的方法很简单：

1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+...

1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...

注意后一个级数每一项对应的分数都小数调合级数中每一项，而且后面级数的括号中的数值和都为1/2，这样的1/2有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调合级数也是发散的。

广义调和数

广义调和数满足

$H_alpha = int_0^1frac{1-x^alpha}{1-x}\,dx\, .$

由此，我们得到

$H_{frac{3}{4}} = frac{4}{3}-3ln{2}+ frac{pi}{2}$
$H_{frac{2}{3}} = frac{3}{2}(1-ln{3})+sqrt{3} frac{pi}{6}$
$H_{frac{1}{2}} = 2 -2ln{2}$
$H_{frac{1}{3}} = 3- frac{pi}{2sqrt{3}} - frac{3}{2}ln{3}$
$H_{frac{1}{4}} = 4- frac{pi}{2} - 3ln{2}$
$H_{frac{1}{6}} = 6- frac{pi}{2} sqrt{3} -2ln{2} - frac{3}{2} ln{3}$
$H_{frac{1}{8}} = 8- frac{pi}{2} - 4ln{2} - frac{1}{sqrt{2}} left{pi + lnleft(2 + sqrt{2} ight) - lnleft(2 - sqrt{2} ight) ight}$
$H_{frac{1}{12}} = 12-3left(ln{2}+ frac{ln{3}}{2} ight)-pileft(1+ frac{sqrt{3}}{2} ight)+2sqrt{3}ln left (sqrt{2-sqrt{3}} ight )$

对于任意两个正整数p和q，并且p＜q，我们有

$H_{frac{p}{q}} = frac{q}{p} +2sum_{k=1}^{lfloorfrac{q-1}{2} floor} cos(frac{2 pi pk}{q})ln({sin (frac{pi k}{q})})-frac{pi}{2}cot(frac{pi p}{q})-ln({2q})$

微积分

对于每一个大于0的x，有

$H_{x} = x sum_{k=1}^infty frac{1}{k(x+k)}\, .$

由此，得

$int_0^1H_{x}\,dx = gamma\, ,$

对于每一个n，有

$int_0^nH_{x}\,dx = ln{(n!)}+ngamma\, .$

其他数列

根据定义，其他类似于调和数的数列有以下计算方法：

$sum_{k=1}^n frac{1}{k} = psi (n - 1) + gamma$

$sum_{k=0}^n frac{1}{2k + 1} = frac{1}{2} left[psi left(n + frac{3}{2} ight) + gamma ight] + ln{2}$

$sum_{k=1}^n frac{1}{2k} = frac{H_n}{2}$
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