离散数学知识点总结（1）-命题逻辑

一、命题

命题：陈述句，有唯一真值/非真既假（不一定知道）

简单命题/命题常元：真值确定。

命题变元p：常用来表示命题。只有明确表示某个命题时才有具体的含意和确定的真值。

命题联结词/命题运算符：否定联结词┐、合取联结词∧、析取联结词∨、蕴含联结词→、与非联结词、或非联结词

p→q：当且仅当p真q假时，p→q为假（因此它和┐p∨q等值）。即p为假时，p→q必定为真

⟷：当且仅当、充要条件、反之亦然

二、命题公式

命题公式/命题形式/合式公式/公式：

（1）可满足式：非重言的可满足式

重言式/永真式

（2）矛盾式/永假式（不存在成真指派）

命题公式不是命题，只有当公式中的每一个命题变项都被赋以确定的真值时，公式的真值才被确定，从而成为一个命题。 

三、命题逻辑的等值演算

A⟺B：A和B有等值关系。对任意真值指派，A与B取值相同。A⟷B为永真式。

等值关系一般通过真值表法或者等值演算法得到。

而不等值，只能通过真值表法，找到某个真值指派使得一个为真一个为假

德摩根律：┐(A∨B)⟺┐A∧┐B、┐(A∧B)⟺┐A∨┐B

蕴含等值式：A→B⟺┐A∨B

吸收律：A∨(A∧B)⟺A、A∧(A∨B)⟺A

归谬式：(A→B)∧(A→┐B)⟺┐A

 

例题：

p→(q→r)

⟺┐p∨(┐q∨r)

⟺(┐p∨┐q)∨r

⟺┐(p∧q)∨r

⟺(p∧q)→r

四、范式

由有限个文字的析取所组成的公式称为析取式；由有限个文字的合取所组成的公式称为合取式

形如A₁∨A₂∨…∨A_n的公式称为析取范式DNF（其中A_i为合取式）；形如A₁∧A₂∧…∧A_n的公式称为合取范式CNF（其中A_i为析取式）

任一命题公式都存在着与之等值的析取范式和合取范式，但析取范式和合取范式可能不是惟一的。

极小项q₁∧q₂∧…∧q_n：一共2ⁿ种解释，每个极小项只在一个解释下为真。每个极小项对应一个二进制数，该二进制数正是该极小项真值为真的指派，即m₀可表示┐q₁∧┐q₂∧…∧┐q_n

极大项q₁∨q₂∨…∨q_n：一共2ⁿ种解释，每个极大项只在一个解释下为假。每个极大项对应一个二进制数，该二进制数正是该极小项真值为假的指派，即M₀可表示q₁∨q₂∨…∨q_n

m_i∧m_j⟺F

M_i∨M_j⟺T

m_i⟺┐M_i

若由n个命题变项构成的析取范式中所有的合取式都是极小项，则称其为主析取范式。 

若由n个命题变项构成的合取范式中所有的析取式都是极大项，则称其为主合取范式。

例题：

┐(p∨q)⟷(p∧q)

⟺(┐(p∨q)∧(p∧q))∨((p∨q)∧┐(p∧q))

⟺(┐p∧┐q∧p∧q)∨((p∨q)∧(┐p∨┐q))

⟺((p∨q)∧(┐p∨┐q))

⟺(p∧┐p)∨(p∧┐q) ∨(q∧┐p)∨(q∧┐q) 

⟺(p∧┐q) ∨(q∧┐p) 为析取范式

┐(p∨q)⟷(p∧q)

⟺(┐(p∨q)→(p∧q))∧((p∧q)→┐(p∨q))

⟺((p∨q)∨(p∧q))∧(┐(p∧q)∨┐(p∨q))

⟺((p∨q)∨(p∧q))∧((┐p∨┐q)∨(┐p∧┐q))

⟺(p∨q)∧(┐p∨┐q)为合取范式

 

⭐️例题：

((p∨q)→r)→p

要求主析取范式首先要求得析取范式为p∨(q∧┐r)

⟺( p∧(┐q∨q)∧(┐r∨r) )∨( (┐p∨p)∧(q∧┐r) ) 

⟺(p∧┐q∧┐r)∨(p∧┐q∧r)∨ (p∧q∧┐r)∨(p∧q∧r)∨ (┐p∧q∧┐r)∨(p∧q∧┐r) 

⟺m₄∨m₅∨m₆∨m₇∨m₂∨m₆ 

⟺m₂∨m₄∨m₅∨m₆∨m₇ 

⟺∑(2, 4, 5, 6, 7)

要求主合取范式首先要求得合取范式为 (p∨q)∧(p∨┐r) 

⟺(p∨q∨(r∧┐r))∧(p∨(q∧┐q)∨┐r) 

⟺(p∨q∨r)∧(p∨q∨┐r) ∧(p∨q∨r)∧(p∨┐q∨┐r) 

⟺(p∨q∨r)∧(p∨q∨┐r)∧(p∨┐q∨┐r) 

⟺M₀∧M₁∧M₃ 

⟺∏(0, 1, 3) 

五、推理

判断一个推理形式是否正确，从定义上讲就是判断一个蕴涵式是否是重言式

推理的形式结构为{A₁, ..., A_k} |-B

推论形式正确当且仅当A₁∧...∧A_k→B为重言式

当且仅当前提为真结论为假时，推论不成立

前提A₁∧...∧A_k为假时，推论必成立

判断重言式是否成立可以通过真值表法、等值演算法、析取范式法

推理定律

附加律A⟹(A∨B) 

化简律(A∧B) ⟹A

假言推理/分离式 (A→B)∧A⟹B

拒取式(A→B)∧┐B⟹┐A

析取三段论(A∨B)∧┐B⟹A

假言三段论(A→B)∧(B→C)⟹(A→C)

等价三段论(A⟷B)∧(B⟷C)⟹(A⟷C)

构造线二难(A→B)∧(C→D)∧(A∨C)⟹(B∨D)、(A→B)∧(┐A→B)⟹B

破坏性二难(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D)⟹(┐A∨┐C)

自然推理系统

（1）附加前提证明法：

(A₁∧...∧A_k)→(A→B)

⟺(A₁∧...∧A_k)→(┐A∨B)

⟺┐(A₁∧...∧A_k)∨(┐A∨B)

⟺┐(A₁∧...∧A_k∧A)∨B

⟺(A₁∧...∧A_k∧A)→B

即将结论中的前件作为推理的前提，使结论为B

（2）归谬法：相容（可满足式）、不相容（矛盾式）

(A₁∧...∧A_k)→B

⟺┐(A₁∧...∧A_k)∨B

⟺┐(A₁∧...∧A_k∧┐B)

若(A₁∧...∧A_k∧┐B)为矛盾式，则(A₁∧...∧A_k)→B为重言式

（3）消解证明法：

把前提中所有公式、结论的否定，都化成等值的合取范式

随后不断引入和消解

直到得到空式，则证明推理是正确的

举例：

如果三角形的两边相等，则其所对的角相等；一个三角形的两边不相等，所以其所对角不相等。 

设 p: 三角形的两边相等 

    q: 三角形的两边所对的角相等 

则推理的形式结构为 (p⟹q)∧┐(p⟹┐q)

转换为蕴涵式形式(p→q)∧┐(p→┐q)却不是重言式，表明推理不正确，或论证并非有效