数据结构15——快速幂

一、相关介绍

快速幂

• 做到快速求幂
• 时间复杂度：O（logn）

问题引入

题目：求a^b

朴素解法：将a连乘b次，那么对应的时间复杂度就是O（b），即O（n）。

快速幂法：关于此题的快速幂法会在下面的算法实现提及。

二、算法实现

下面以求a^b的过程为例讲解快速幂的实现：

• b可以转换为二进制数，该二进制数第i位的位权为2^i-1

例如，当b==11时，a¹¹=a^{2^0+2^1+2^3}，11的二进制是1011，11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2⁰×1，因此，我们将a¹¹转化为算 a^{(2^0)} * a^{(2^1)} * a^{(2^3)} 。

看出来快的多了吧，原来算11次，现在算三次，但是这三项貌似不好求的样子....不急，下面会有详细解释。

• 由于是二进制，很自然地想到用位运算（包括：&和>>）

&运算通常用于二进制取位操作，例如一个数&1的结果就是取二进制的最末位；还可以判断奇偶x&1==0为偶，x&1==1为奇。   　　

>>运算比较单纯，二进制去掉最后一位，不多说了，先放代码再解释。

int poww(int a,int b){
    int ans=1,base=a;
    while(b!=0){
        if(b&1!=0)
        　　ans*=base;
        base*=base;
        b>>=1;
　 }
    return ans;
}

解释：以b==11为例，b的二进制形式为1011，此二进制从右向左算，但乘出来的顺序是 a^{(2^0)}*a^{(2^1)}*a^{(2^3)}，是从左向右的。我们不断的让base*=base目的即是累乘，以便随时对ans做出贡献。

　　其中要理解base*=base这一步，看：：：base*base==base^2,下一步再乘，就是base^2*base^2==base^4,然后同理  base^4*base4=base^8,,,,,see?是不是做到了base-->base^2-->base^4-->base^8-->base^16-->base^32.......指数正是 2^i 啊，再看上  面的例子，a¹¹= a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，这三项是不是完美解决了，，嗯，快速幂就是这样。

　　顺便啰嗦一句，由于指数函数是爆炸增长的函数，所以很有可能会爆掉int的范围，根据题意决定是用 long long啊还是unsigned int啊还是mod某个数啊自己看着办。

还有，矩阵快速幂的求法唯一的区别就是*换成矩阵中的乘法，写个函数代换嘛，思想一毛一样。