H-大时钟(扩展欧几里得)

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/635/H
来源：牛客网

题目描述

艾兰岛和沃夫岛的时间算法很不一样，它们都拥有它们自己的魔法大时钟。以我们的时间来看艾兰岛的大时钟起鸣在b, b+a, b+2a, b+3a,… ,（a,b均为正整数）并且沃夫岛的大时钟起鸣在d, d+c, d+2c, d+3c,….（c,d均为正整数）因为计时的方法不同，两边经常打仗，但可能有某些时间点两边的大时钟同时起鸣。我们称这样的时间点为和平点。求第一个和平点。(如果没有这样的时间点，输出-1)

输入描述:

第一行输入两个整数a,b ( 1< a,b < 5*10⁸)

第二行输入两个整数c,d ( 1< c,d < 5*10⁸)

输出描述:

第一个和平点所表示的时间(如果没有这样的时间点，输出-1)

示例1

输入

复制

20 2
9 19

输出

复制

82

示例2

输入

2 1
16 12

输出

-1


思路：保证 ax+b=cy+d 最小，等式转化成 ax-cy=d-b(x>0,y>0),
即ax+cy=d-b(x>0,y<0),为了使方程具有统一性，我们要确保d-b>0,或者d-b<0(这里是d-b>0)
显然是扩展欧几里得的应用，我们用扩展欧几里得算出 ax+cy=gcd(a,c)

根据扩展欧几里得性质，当d-b整除gcd才有解。再乘以(b-d)/gcd(a,c),就是ax+cy=d-b的一个解。
因为我们固定d-b>0，所以我们要先求得最大负数的一个y解，为什么不是算x解。

因为 ax+b=d-cy(d>b,y<0),如果计算最小正数解是不能保证d-cy等于ax+b的，有可能d-cy达不到ax+b那么小，因为d>b,  -cy>0
举例： a=1,x=1,b=2,d=4,  a*x+b=3<d-cy>4,所以是不行的。就是 如果算x的最小正解 ax+b太小  可能使   cy+d  y为负数（就不符合题意了）
所以求到最大负数y解即可，保证有解。
代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int ans=exgcd(b,a%b,x,y);
    int temp=x;
    x=y;
    y=temp-(a/b)*y;
    return ans;
}
int main()
{
    ll a,b,c,d,x,y;
    cin>>a>>b>>c>>d;
    if(b>d)//保证d>b 
    {
        swap(a,c);
        swap(b,d);
    }
    ll g=exgcd(a,c,x,y);
    if((d-b)%g!=0)//d-b整除gcd才有解 
        cout<<-1<<endl;
    else
    {
        x=x*(d-b)/g;
        y=y*(d-b)/g;
        y%=(a/g);
        if(y>0)//求是最大负数y解 
            y-=a/g;
        cout<<d-c*y<<endl;
    }
    return 0;
}