素数定理:给出从整数中抽到素数的概率。从不大于n的自然数随机选一个,它是素数的概率大约是1/ln n。也就是说在不大于n的自然数里,总共的素数为 n/lgn。
筛法:
用筛法求素数的基本思想是(本质上也能算是一种预处理):把从1开始的、某一范围内的正整数从小到大顺序排列, 1不是素数,首先把它筛掉。剩下的数中选择最小的数是素数,然后去掉它的倍数。依次类推,直到筛子为空时结束。如有:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30。
1不是素数,去掉。剩下的数中2最小,是素数,去掉2的倍数,余下的数是:3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 。剩下的数中3最小,是素数,去掉3的倍数,如此下去直到所有的数都被筛完,求出的素数为:2 3 5 7 11 13 17 19 23 29。
题目:第十万零二个素数
请问,第100002(十万零二)个素数是多少? 请注意:“2” 是第一素数,“3” 是第二个素数,依此类推。
代码:
1 public class 第十万零二个素数 { 2 3 public static void main(String[] args) { 4 long now = System.currentTimeMillis(); 5 // nlognlogn 6 f(100002); 7 System.out.println("耗时:" + (System.currentTimeMillis() - now) + "ms"); 8 9 /*============Java自带的api==========*/ 10 now = System.currentTimeMillis(); 11 BigInteger bigInteger = new BigInteger("1"); 12 for (int i = 1; i <= 100002; i++) { 13 bigInteger = bigInteger.nextProbablePrime(); 14 } 15 System.out.println(bigInteger); 16 System.out.println("耗时:" + (System.currentTimeMillis() - now) + "ms"); 17 18 /*==========朴素解法=========*/ 19 now = System.currentTimeMillis(); 20 int count = 0; 21 long x = 2; 22 while(count<100002){ 23 if (isPrime(x)) { 24 count++; 25 } 26 x++; 27 } 28 System.out.println(x-1); 29 System.out.println("耗时:" + (System.currentTimeMillis() - now) + "ms"); 30 } 31 public static boolean isPrime(long num){ 32 for (int i = 2; i*i <= num; i++) { 33 if (num%i==0) { 34 return false; 35 } 36 } 37 return true; 38 } 39 /** 40 * 41 * @param N 第N个素 42 */ 43 private static void f(int N){ 44 int n = 2; 45 // 自然数n之内的素数个数n/ln(n) 46 // 得到整数范围 47 while(n/Math.log(n)<N){ 48 n++; 49 } 50 int []arr = new int[n]; 51 int x = 2; 52 while(x<n){ 53 if (arr[x]!=0) { 54 x++; 55 continue; 56 } 57 int k=2; 58 //对每个x,我们从2倍开始,对x的k倍,全部标记为-1 59 while(x*k<n){ 60 arr[x*k] = -1; 61 k++; 62 } 63 x++; 64 } 65 // System.out.println(arr); 66 // 筛完之后,这个很长的数组里面非素数下标对应的值都是-1 67 int sum = 0; 68 for (int i = 2; i < arr.length; i++) { 69 // 是素数,计数+1 70 if (arr[i] == 0) { 71 // System.out.println(i); 72 sum++; 73 } 74 if (sum == N) { 75 System.out.println(i); 76 return; 77 } 78 } 79 } 80 81 }
结果: