这是悦乐书的第190次更新，第193篇原创
01 看题和准备
今天介绍的是LeetCode算法题中Easy级别的第49题（顺位题号是204）。计算小于非负数n的素数的数量。例如：
输入：10
输出：4
说明：有4个素数小于10，它们是2,3,5,7。
本次解题使用的开发工具是eclipse，jdk使用的版本是1.8，环境是win7 64位系统，使用Java语言编写和测试。
02 第一种解法
判断一个数n是否为素数，就需要判断1到n-1之间的数能否被n整除，能够被整除说明不是素数，否则就是素数。
public int countPrimes(int n) {
if (n <= 2) {
return 0;
}
int count = 0;
for (int i=2;i<n; i++) {
boolean flag = true;
for (int j=2; j<i; j++) {
if (i%j == 0) {
flag = false;
}
}
if (flag) {
count++;
}
}
return count;
}
但是此解法的时间复杂度太高了，是O(n^2)，那就需要再优化下。
03 第二种解法
如果n可以被某个数p整除，则n = p×q，并且由于p≤q，我们可以推导出p小于等于根号n。对正整数n，如果用2到根号n之间的所有整数去除，均无法整除，则n为质数。对于根号的处理，我们将内部循环换成指针的平方。
public int countPrimes2(int n) {
int count = 0;
for (int i = 1; i < n; i++) {
if (isPrime(i)) count++;
}
return count;
}
private boolean isPrime(int num) {
if (num <= 1) return false;
for (int i = 2; i * i <= num; i++) {
if (num % i == 0) return false;
}
return true;
}
04 第三种解法
一个素数的倍数都不是素数。 比如2，依次往上乘，4,6,8等等，他们都不是质数，再比如3，也可以依次往上乘，得到的结果也不是质数。
我们从2开始遍历到根号n，先找到第一个质数2，然后将其所有的倍数全部标记出来，然后到下一个质数3，标记其所有倍数，一次类推，直到根号n，此时数组中未被标记的数字就是质数。对此我们需要使用一个长度为n的布尔类型数组，来存储那些被标记的非质数。外层循环和内层循环都是遍历到根号n即可。
public int countPrimes3(int n) {
boolean[] isPrime = new boolean[n];
for (int i = 2; i < n; i++) {
isPrime[i] = true;
}
for (int i = 2; i * i < n; i++) {
if (!isPrime[i])
continue;
for (int j = i * i; j < n; j += i) {
isPrime[j] = false;
}
}
int count = 0;
for (int i = 2; i < n; i++) {
if (isPrime[i])
count++;
}
return count;
}
此解法的空间复杂度是O(n)，时间复杂度是O(nlog(log n))。
05 小结
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