在一些有N个元素的集合应用问题中，我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。这一类问题其特点是看似并不复杂，但数据量极大，若用正常的数据结构来描述的话，往往在空间上过大，计算机无法承受；即使在空间上勉强通过，运行的时间复杂度也极高，根本就不可能在规定的运行时间（1～3秒）内计算出试题需要的结果，只能用并查集来描述。
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定义
并查集（Disjoint Set），即“不相交集合”，是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。集就是让每个元素构成一个单元素的集合，也就是按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并。
将编号分别为1…N的N个对象划分为不相交集合，在每个集合中，选择其中某个元素代表所在集合。
常见两种操作：
- 合并两个集合
- 查找某元素属于哪个集合
用编号最小的元素标记所在集合；定义一个数组 set[1..n] ，其中set[i] 表示元素i 所在的集合；
算法实现
查找 Θ(1)
find1(x) { return set[x]; }
合并 Θ(N)
Merge1(a,b) { i = min(a,b); j = max(a,b); for (k = 1; k <= N; k++) { if (set[k] == j) set[k] = i; } }
对于“合并操作”，必须搜索全部元素！有没有可以改进的地方呢？
算法的优化
使用树结构
每个集合用一棵“有根树”表示，定义数组 set[1..n]
- set[i] = i , 则i表示本集合，并是集合对应树的根
- set[i] = j, j<>i, 则 j 是 i 的父节点.
查找 最坏情况Θ(N)
find2(x) { r = x; while (set[r] != r) r = set[r]; return r; }
合并 Θ(1)
merge2(a, b) { if (a<b) set[b] = a; else set[a] = b; }
性能有无本质的改进？如何避免最坏情况呢？
优化--避免最坏情况
方法：将深度小的树合并到深度大的树
实现：假设两棵树的深度分别为h1和h2, 则合并后的树的高度h是:
max(h1,h2), if h1<>h2.
h1+1, if h1=h2.
效果：任意顺序的合并操作以后，包含k个节点的树的最大高度不超过lgk
优化后算法及效率：
查找 Θ(N)
find2(x) { r = x; while (set[r] != r) r = set[r]; return r; }
合并 Θ(1)
merge3(a,b) { if (height(a) == height(b)) { height(a) = height(a) + 1; set[b] = a; } else if (height(a) < height(b)) { set[a] = b; } else { set[b] = a; } }
进一步优化--路径压缩
思想：每次查找的时候，如果路径较长，则修改信息，以便下次查找的时候速度更快
步骤:
- 第一步，找到根结点
- 第二步，修改查找路径上的所有节点，将它们都指向根结点
带路径压缩的查找算法：
find3(x) { r = x; while (set[r] != r) //循环结束，则找到根节点 r = set[r]; i = x; while (i != r) //本循环修改查找路径中所有节点 { j = set[i]; set[i] = r; i = j; } }
路径压缩示意图:
编程实践
某省调查城镇交通状况，得到现有城镇道路统计表，表中列出了每条道路直接连通的城镇。省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个城镇间都可以实现交通（但不一定有直接的道路相连，只要互相间接通过道路可达即可）。问最少还需要建设多少条道路？
典型的并查集题目
#include<stdio.h> int bin[1002]; int findx(int x) { int r = x; while(bin[r] != r) r = bin[r]; return r; } void merge(int x, int y) { int fx, fy; fx = findx(x); fy = findx(y); if(fx != fy) bin[fx] = fy; } void solve() { int n, m, i, x, y, count; while(scanf("%d", &n), n) { for(i = 1; i <= n; i++) bin[i] = i; for(scanf("%d", &m); m > 0; m--) { scanf("%d %d", &x, &y); merge(x, y); } for(count = -1, i = 1; i <= n; i++) { if(bin[i] == i) count++; } printf("%d ", count); } } int main() { solve(); return 0; }
算法：
判断图是否连通且无回路
如果待连接的两点如果祖先节点相同，那么就构成回路，不符合
如果不构成回路，但是有多个根节点，也不符合
#include<stdio.h> #define N 100001 int set[N] = {0}; int findx(int x) { int r = x; while(set[r] != r) r = set[r]; return r; } void merge(int x, int y) { int fx, fy; fx = findx(x); fy = findx(y); set[fy] = fx; } void solve() { int flag, sum, i, x, y; while(1) { flag = 0; while(scanf("%d %d", &x, &y) && (x || y)) { if(x == -1 && y == -1) return; if(set[x] == 0) set[x] = x; if(set[y] == 0) set[y] = y; if(findx(x) == findx(y)) { flag = 1; } else if(flag != 1) { merge(x, y); } } for(sum = 0, i = 1; i < N; i++) { if(set[i] == i) sum++; set[i] = 0; } if(sum > 1 || flag == 1) printf("No "); else printf("Yes "); } } int main() { solve(); return 0; }
题目大意：
给你一些操作，P后边输入四个值，分别代表一条线段的起点、终点坐标，
当输入Q时，后边输入一个整形值K，输出第k条线段所在的集合中包含的线段的个数
思路：并查集+计算几何线段相交
当输入P时，判断后边输入的线段的起点和终点时，判断跟之前的线段有没有相交，如果有相交，就merge（）合并，
如果输入的是Q时，就打印出当前线段所在集合的个数
#include<stdio.h> #include<stdbool.h> #define N 1010 int set[N], num[N]; typedef struct P { double x, y; }point; typedef struct E { point a, b; }edge; edge e[N]; double min(double a, double b) { return a > b ? b : a; } double max(double a, double b) { return a > b ? a : b; } int find(int x) /*带路径压缩的查找算法*/ { int r, i, j; i = r = x; while(set[r] != r) r = set[r]; while(i != r) { j = set[i]; set[i] = r; i = j; } return r; } void merge(int x, int y) { int fx, fy; fx = find(x); fy = find(y); if(fx != fy) { set[fx] = fy; num[fy] += num[fx]; } } /********计算几何（判断线段相交函数）**************/ double xmult(point a, point b, point c) /*大于零代表a,b,c左转*/ { return (b.x - a.x)*(c.y - a.y) - (b.y - a.y) * (c.x - a.x); } bool OnSegment(point a,point b,point c) /* a,b,c共线时有效 */ { return c.x >= min(a.x,b.x) && c.x <= max(a.x,b.x) && c.y >= min(a.y,b.y) && c.y <= max(a.y,b.y); } bool Cross(point a,point b,point c,point d) /* 判断ab 与cd是否相交 */ { double d1, d2, d3, d4; d1 = xmult(c,d,a); d2 = xmult(c,d,b); d3 = xmult(a,b,c); d4 = xmult(a,b,d); if(d1 * d2 < 0 && d3 * d4 < 0) return true; else if(d1 == 0 && OnSegment(c, d, a)) return true; else if(d2 == 0 && OnSegment(c, d, b)) return true; else if(d3 == 0 && OnSegment(a, b, c)) return true; else if(d4 == 0 && OnSegment(a, b, d)) return true; return false; } /**********************/ void solve() { int t, k, n, i, j, temp; char s[5]; scanf("%d", &t); while(t--) { scanf("%d", &n); k = 0; for(i = 1; i <= n; i++) { set[i] = i; num[i] = 1; } for(i = 1; i <= n; i++) { scanf("%s", s); if(s[0] == 'P') { k++; scanf("%lf %lf %lf %lf", &e[k].a.x, &e[k].a.y, &e[k].b.x, &e[k].b.y); for(j = 1; j < k; j++) { if(find(k) != find(j) && Cross(e[k].a, e[k].b, e[j].a, e[j].b)) merge(k, j); } } else if(s[0] == 'Q') { scanf("%d", &temp); printf("%d ", num[find(temp)]); } } if(t) printf(" "); } } int main() { solve(); return 0; }
参考资料：