BNUOJ 34985 Elegant String 2014北京邀请赛E题 矩阵快速幂

题目链接：http://acm.bnu.edu.cn/bnuoj/problem_show.php?pid=34985

题目大意：问n长度的串用0~k的数字去填，有多少个串保证任意子串中不包含0~k的某一个全排列

邀请赛上A的较多的一道题，比赛的时候死活想不出，回来之后突然就想通了，简直..... = =!

解题思路：

对于所有串我们都只考虑末尾最多有多少位能构成全排列的一部分（用l来表示），即最多有多少位不重复的数字出现，将问题转化为求末尾最多有k位能构成全排列的串的总数量

假设k为5，有一个串……0023，不难发现l=3

我们以这个串出发在之后添上数字，假如我们添的是0、2、3中的一个：

　　0: ……00230 (l=3)

　　2: ……00232 (l=2)

　　3: ……00233 (l=1)

假如是l长度中没有出现过的数字

　　则构成新串 ……00231 ……00234  ……00235 l=4

最后可以得到规律：总长度为n串中 l=m的串的数量 x1 得到 总长度为n+1的串中 l=(1,2,……,m)的串

　　　　　　　　　总长度为n串中 l=m的串的数量 x(k-m+2) 得到 总长度为n+1的串中 l=m+1的串

用mar[i][j]来表示由l=j的串得到l=i的串所以

mar可以表示为（以k=5为例）

1　　1　　1　　1　　1

5　　1　　1　　1　　1

0　　4　　1　　1　　1

0　　0　　3　　1　　1

0　　0　　0　　2　　1

通过该矩阵我们可以由长度为n的串数量可以推出长度为n+1的串的数量：

于是我们可以通过长度1的串最终得到总长度为n的串，　　n=1时只有l最多为1 总数为 k+1

快速幂求得该矩阵的(n-1)次幂，该矩阵的第一列相加乘（k+1）即为最终结果

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define FFF 20140518
struct node{
    long long mar[15][15];
}sor;
void init(int k)
{
    memset(sor.mar,0,sizeof(sor.mar));
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        for(int j=i;j<=k;j++)
        {
            sor.mar[i][j]=1;
        }
        if(i>1)
        {
            sor.mar[i][i-1]=k-i+2;
        }
    }
}
node marMulti(node a,node b,int k)
{
    node ret;
    memset(ret.mar,0,sizeof(ret.mar));
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        for(int j=1;j<=k;j++)
        {
            for(int l=1;l<=k;l++)
            {
                ret.mar[i][j]+=(a.mar[i][l]*b.mar[l][j])%FFF;
                ret.mar[i][j]%=FFF;
            }
        }
    }
    return ret;
}
node matrixPow(long long x,int k)
{
    node now=sor;
    node ret;
    memset(ret.mar,0,sizeof(ret.mar));
    for(int i=1;i<=k;i++)
        ret.mar[i][i]=1;
    while(x)
    {
        if(x%2==1)
            ret=marMulti(now,ret,k);
        x/=2;
        now=marMulti(now,now,k);
    }
    return ret;
}
void print(node sor,int k)
{
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        for(int j=1;j<=k;j++)
        {
            cout<<sor.mar[i][j]<<' ';
        }
        cout<<endl;
    }
}
int main()
{
    int keng,k,Case=1;
    long long n;
    scanf("%d",&keng);
    while(keng--)
    {
        scanf("%lld%d",&n,&k);
        init(k);
        node ret=matrixPow(n-1,k);
        int ans=0;
        // print(sor,k);
        // print(ret,k);
        for(int i=1;i<=k;i++)
        {
            ans+=(ret.mar[i][1]*(k+1))%FFF;
            ans%=FFF;
        }
        printf("Case #%d: %d
",Case++,ans);
    }
    return 0;
}