Floyd-Warshall算法，简称Floyd算法

Floyd-Warshall算法，简称Floyd算法，用于求解任意两点间的最短距离，时间复杂度为O(n^3)。

使用条件&范围
通常可以在任何图中使用，包括有向图、带负权边的图。

Floyd-Warshall 算法用来找出每对点之间的最短距离。它需要用邻接矩阵来储存边，这个算法通过考虑最佳子路径来得到最佳路径。

1.注意单独一条边的路径也不一定是最佳路径。
2.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，或者无穷大，如果两点之间没有边相连。
对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。
3.不可思议的是，只要按排适当，就能得到结果。
伪代码:

// dist(i,j) 为从节点i到节点j的最短距离
For i←1 to n do
   For j←1 to n do
      dist(i,j) = weight(i,j) 
 
For k←1 to n do // k为“媒介节点”
   For i←1 to n do
      For j←1 to n do
         if (dist(i,k) + dist(k,j) < dist(i,j)) then // 是否是更短的路径？
            dist(i,j) = dist(i,k) + dist(k,j)


我们平时所见的Floyd算法的一般形式如下：

void Floyd(){
     int i,j,k;
     for(k=1;k<=n;k++)
         for(i=1;i<=n;i++)
             for(j=1;j<=n;j++)
                 if(dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j])
                     dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];
}

注意下第6行这个地方，如果dist[i][k]或者dist[k][j]不存在，程序中用一个很大的数代替。最好写成if(dist[i] [k]!=INF && dist[k][j]!=INF && dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j])，从而防止溢出所造成的错误。< p="">

Floyd算法的实现以及输出最短路径和最短路径长度。

代码说明几点：

1、A[][]数组初始化为各顶点间的原本距离，最后存储各顶点间的最短距离。

2、path[][]数组保存最短路径，与当前迭代的次数有关。初始化都为-1，表示没有中间顶点。在求A[i][j]过程中，path[i][j]存放从顶点vi到顶点vj的中间顶点编号不大于k的最短路径上前一个结点的编号。在算法结束时，由二维数组path的值回溯，可以得到从顶点vi到顶点vj的最短路径。

完整代码如下：

#include <iostream>
#include <string>   
#include <stdio.h>   
using namespace std;   
#define MaxVertexNum 100   
#define INF 32767   
typedef struct  
{   
    char vertex[MaxVertexNum];   
    int edges[MaxVertexNum][MaxVertexNum];   
    int n,e;   
}MGraph;   
 
void CreateMGraph(MGraph &G)   
{   
    int i,j,k,p;   
    cout<<"请输入顶点数和边数:";   
    cin>>G.n>>G.e;   
    cout<<"请输入顶点元素:";   
    for (i=0;i<G.n;i++)   
    {   
        cin>>G.vertex[i];   
    }   
    for (i=0;i<G.n;i++)   
    {   
        for (j=0;j<G.n;j++)   
        {   
            G.edges[i][j]=INF;   
            if (i==j)   
            {   
                G.edges[i][j]=0;   
            }   
        }   
    }      
    for (k=0;k<G.e;k++)   
    {   
        cout<<"请输入第"<<k+1<<"条弧头弧尾序号和相应的权值:";   
        cin>>i>>j>>p;   
        G.edges[i][j]=p;   
    }   
}   
void Dispath(int A[][MaxVertexNum],int path[][MaxVertexNum],int n);
 
void Floyd(MGraph G)
{
	int A[MaxVertexNum][MaxVertexNum],path[MaxVertexNum][MaxVertexNum];
	int i,j,k;
	for (i=0;i<G.n;i++)
	{
		for (j=0;j<G.n;j++)
		{
			A[i][j]=G.edges[i][j];
			path[i][j]=-1;
		}
	}
	for (k=0;k<G.n;k++)
	{
		for (i=0;i<G.n;i++)
		{
			for (j=0;j<G.n;j++)
			{
				if (A[i][j]>A[i][k]+A[k][j])
				{
					A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];
					path[i][j]=k;
				}
			}
		}
	}
	Dispath(A,path,G.n);
}
 
void Ppath(int path[][MaxVertexNum],int i,int j)
{
	int k;
	k=path[i][j];
	if (k==-1)
	{
		return;
	}
	Ppath(path,i,k);
	printf("%d,",k);
	Ppath(path,k,j);
}
 
void Dispath(int A[][MaxVertexNum],int path[][MaxVertexNum],int n)
{
	int i,j;
	for (i=0;i<n;i++)
	{
		for (j=0;j<n;j++)
		{
			if (A[i][j]==INF)
			{
				if (i!=j)
				{
					printf("从%d到%d没有路径
",i,j);
				}
			}
			else
			{
				printf("  从%d到%d=>路径长度:%d路径:",i,j,A[i][j]);
				printf("%d,",i);
				Ppath(path,i,j);
				printf("%d
",j);
			}
		}
	}
}
 
int main()
{
	freopen("input2.txt", "r", stdin);
	MGraph G;
	CreateMGraph(G);
	Floyd(G);
	return 0;
}