如何用栈实现递归与非递归的转换
一.为什么要学习递归与非递归的转换的实现方法?
1)并不是每一门语言都支持递归的.
2)有助于理解递归的本质.
3)有助于理解栈,树等数据结构.
二.递归与非递归转换的原理.
递归与非递归的转换基于以下的原理:所有的递归程序都可以用树结构表示出来.需要说明的是,
这个"原理"并没有经过严格的数学证明,只是我的一个猜想,不过在至少在我遇到的例子中是适用的.
学习过树结构的人都知道,有三种方法可以遍历树:前序,中序,后序.理解这三种遍历方式的递归和非
递归的表达方式是能够正确实现转换的关键之处,所以我们先来谈谈这个.需要说明的是,这里以特殊的
二叉树来说明,不过大多数情况下二叉树已经够用,而且理解了二叉树的遍历,其它的树遍历方式就不难
了.
1)前序遍历
a)递归方式:
void preorder_recursive(Bitree T) /* 先序遍历二叉树的递归算法 */
{
if (T) {
visit(T); /* 访问当前结点 */
preorder_recursive(T->;lchild); /* 访问左子树 */
preorder_recursive(T->;rchild); /* 访问右子树 */
}
}
b)非递归方式
void preorder_nonrecursive(Bitree T) /* 先序遍历二叉树的非递归算法 */
{
initstack(S);
push(S,T); /* 根指针进栈 */
while(!stackempty(S)) {
while(gettop(S,p)&&p) { /* 向左走到尽头 */
visit(p); /* 每向前走一步都访问当前结点 */
push(S,p->;lchild);
}
pop(S,p);
if(!stackempty(S)) { /* 向右走一步 */
pop(S,p);
push(S,p->;rchild);
}
}
}
2)中序遍历
a)递归方式
void inorder_recursive(Bitree T) /* 中序遍历二叉树的递归算法 */
{
if (T) {
inorder_recursive(T->;lchild); /* 访问左子树 */
visit(T); /* 访问当前结点 */
inorder_recursive(T->;rchild); /* 访问右子树 */
}
}
b)非递归方式
void inorder_nonrecursive(Bitree T)
{
initstack(S); /* 初始化栈 */
push(S, T); /* 根指针入栈 */
while (!stackempty(S)) {
while (gettop(S, p) && p) /* 向左走到尽头 */
push(S, p->;lchild);
pop(S, p); /* 空指针退栈 */
if (!stackempty(S)) {
pop(S, p);
visit(p); /* 访问当前结点 */
push(S, p->;rchild); /* 向右走一步 */
}
}
}
3)后序遍历
a)递归方式
void postorder_recursive(Bitree T) /* 中序遍历二叉树的递归算法 */
{
if (T) {
postorder_recursive(T->;lchild); /* 访问左子树 */
postorder_recursive(T->;rchild); /* 访问右子树 */
visit(T); /* 访问当前结点 */
}
}
b)非递归方式
typedef struct {
BTNode* ptr;
enum {0,1,2} mark;
} PMType; /* 有mark域的结点指针类型 */
void postorder_nonrecursive(BiTree T) /* 后续遍历二叉树的非递归算法 */
{
PMType a;
initstack(S); /* S的元素为PMType类型 */
push (S,{T,0}); /* 根结点入栈 */
while(!stackempty(S)) {
pop(S,a);
switch(a.mark)
{
case 0:
push(S,{a.ptr,1}); /* 修改mark域 */
if(a.ptr->;lchild)
push(S,{a.ptr->;lchild,0}); /* 访问左子树 */
break;
case 1:
push(S,{a.ptr,2}); /* 修改mark域 */
if(a.ptr->;rchild)
push(S,{a.ptr->;rchild,0}); /* 访问右子树 */
break;
case 2:
visit(a.ptr); /* 访问结点 */
}
}
}
4)如何实现递归与非递归的转换
通常,一个函数在调用另一个函数之前,要作如下的事情:a)将实在参数,返回地址等信息传递
给被调用函数保存; b)为被调用函数的局部变量分配存储区;c)将控制转移到被调函数的入口.
从被调用函数返回调用函数之前,也要做三件事情:a)保存被调函数的计算结果;b)释放被调
函数的数据区;c)依照被调函数保存的返回地址将控制转移到调用函数.
所有的这些,不论是变量还是地址,本质上来说都是"数据",都是保存在系统所分配的栈中的.
ok,到这里已经解决了第一个问题:递归调用时数据都是保存在栈中的,有多少个数据需要保存
就要设置多少个栈,而且最重要的一点是:控制所有这些栈的栈顶指针都是相同的,否则无法实现
同步.
下面来解决第二个问题:在非递归中,程序如何知道到底要转移到哪个部分继续执行?回到上
面说的树的三种遍历方式,抽象出来只有三种操作:访问当前结点,访问左子树,访问右子树.这三
种操作的顺序不同,遍历方式也不同.如果我们再抽象一点,对这三种操作再进行一个概括,可以
得到:a)访问当前结点:对目前的数据进行一些处理;b)访问左子树:变换当前的数据以进行下一次
处理;c)访问右子树:再次变换当前的数据以进行下一次处理(与访问左子树所不同的方式).
下面以先序遍历来说明:
void preorder_recursive(Bitree T) /* 先序遍历二叉树的递归算法 */
{
if (T) {
visit(T); /* 访问当前结点 */
preorder_recursive(T->;lchild); /* 访问左子树 */
preorder_recursive(T->;rchild); /* 访问右子树 */
}
}
visit(T)这个操作就是对当前数据进行的处理, preorder_recursive(T->;lchild)就是把当前
数据变换为它的左子树,访问右子树的操作可以同样理解了.
现在回到我们提出的第二个问题:如何确定转移到哪里继续执行?关键在于一下三个地方:a)
确定对当前数据的访问顺序,简单一点说就是确定这个递归程序可以转换为哪种方式遍历的树结
构;b)确定这个递归函数转换为递归调用树时的分支是如何划分的,即确定什么是这个递归调用
树的"左子树"和"右子树"c)确定这个递归调用树何时返回,即确定什么结点是这个递归调用树的
"叶子结点".
三.三个例子
好了上面的理论知识已经足够了,下面让我们看看几个例子,结合例子加深我们对问题的认识
.即使上面的理论你没有完全明白,不要气馁,对事物的认识总是曲折的,多看多想你一定可以明
白(事实上我也是花了两个星期的时间才弄得比较明白得).
1)例子一:
f(n) = n + １; (n <２)
f[n/2] + f[n/4](n >;= 2);
这个例子相对简单一些,递归程序如下:
int f_recursive(int n)
{
int u1, u2, f;
if (n < 2)
f = n + 1;
else {
u1 = f_recursive((int)(n/2));
u2 = f_recursive((int)(n/4));
f = u1 * u2;
}
return f;
}
下面按照我们上面说的,确定好递归调用树的结构,这一步是最重要的.首先,什么是叶子结点
,我们看到当n < 2时f = n + 1,这就是返回的语句,有人问为什么不是f = u1 * u2,这也是一个
返回的语句呀?答案是:这条语句是在u1 = exmp1((int)(n/2))和u2 = exmp1((int)(n/4))之后
执行的,是这两条语句的父结点. 其次,什么是当前结点,由上面的分析,f = u1 * u2即是父结点
.然后,顺理成章的u1 = exmp1((int)(n/2))和u2 = exmp1((int)(n/4))就分别是左子树和右子
树了.最后,我们可以看到,这个递归函数可以表示成后序遍历的二叉调用树.好了,树的情况分析
到这里,下面来分析一下栈的情况,看看我们要把什么数据保存在栈中,在上面给出的后序遍历的如果这个过程你没
非递归程序中我们已经看到了要加入一个标志域,因此在栈中要保存这个标志域;另外,u1,u2和
每次调用递归函数时的n/2和n/4参数都要保存,这样就要分别有三个栈分别保存:标志域,返回量
和参数,不过我们可以做一个优化,因为在向上一层返回的时候,参数已经没有用了,而返回量也
只有在向上返回时才用到,因此可以把这两个栈合为一个栈.如果对于上面的分析你没有明白,建
议你根据这个递归函数写出它的递归栈的变化情况以加深理解,再次重申一点:前期对树结构和
栈的分析是最重要的,如果你的程序出错,那么请返回到这一步来再次分析,最好把递归调用树和
栈的变化情况都画出来,并且结合一些简单的参数来人工分析你的算法到底出错在哪里.
ok,下面给出我花了两天功夫想出来的非递归程序(再次提醒你不要气馁,大家都是这么过来
的).
int f_nonrecursive(int n)
{
int stack[20], flag[20], cp;
/* 初始化栈和栈顶指针 */
cp = 0;
stack[0] = n;
flag[0] = 0;
while (cp >;= 0) {
switch(flag[cp]) {
case 0: /* 访问的是根结点 */
if (stack[cp] >;= 2) { /* 左子树入栈 */
flag[cp] = 1; /* 修改标志域 */
cp++;
stack[cp] = (int)(stack[cp - 1] / 2);
flag[cp] = 0;
} else { /* 否则为叶子结点 */
stack[cp] += 1;
flag[cp] = 2;
}
break;
case 1: /* 访问的是左子树 */
if (stack[cp] >;= 2) { /* 右子树入栈 */
flag[cp] = 2; /* 修改标志域 */
cp += 2;
stack[cp] = (int)(stack[cp - 2] / 4);
flag[cp] = 1;
} else { /* 否则为叶子结点 */
stack[cp] += 1;
flag[cp] = 2;
}
break;
case 2: /* */
if (flag[cp - 1] == 2) { /* 当前是右子树吗? */
/*
* 如果是右子树, 那么对某一棵子树的后序遍历已经
* 结束,接下来就是对这棵子树的根结点的访问
*/
stack[cp - 2] = stack[cp] * stack[cp - 1];
flag[cp - 2] = 2;
cp = cp - 2;
} else
/* 否则退回到后序遍历的上一个结点 */
cp--;
break;
}
}
return stack[0];
}
算法分析:a)flag只有三个可能值:0表示第一次访问该结点,1表示访问的是左子树,2表示
已经结束了对某一棵子树的访问,可能当前结点是这棵子树的右子树,也可能是叶子结点.b)每
遍历到某个结点的时候,如果这个结点满足叶子结点的条件,那么把它的flag域设为2;否则根据
访问的是根结点,左子树或是右子树来设置flag域,以便决定下一次访问该节点时的程序转向.
2)例子二
快速排序算法
递归算法如下:
void swap(int array[], int low, int high)
{
int temp;
temp = array[low];
array[low] = array[high];
array[high] = temp;
}
int partition(int array[], int low, int high)
{
int p;
p = array[low];
while (low < high) {
while (low < high && array[high] >;= p)
high--;
swap(array,low,high);
while (low < high && array[low] <= p)
low++;
swap(array,low,high);
}
return low;
}
void qsort_recursive(int array[], int low, int high)
{
int p;
if(low < high) {
p = partition(array, low, high);
qsort_recursive(array, low, p - 1);
qsort_recursive(array, p + 1, high);
}
}
需要说明一下快速排序的算法: partition函数根据数组中的某一个数把数组划分为两个部分,
左边的部分均不大于这个数,右边的数均不小于这个数,然后再对左右两边的数组再进行划分.这
里我们专注于递归与非递归的转换,partition函数在非递归函数中同样的可以调用(其实
partition函数就是对当前结点的访问).
再次进行递归调用树和栈的分析:
递归调用树:a)对当前结点的访问是调用partition函数;b)左子树:
qsort_recursive(array, low, p - 1);c)右子树:qsort_recursive(array, p + 1, high);
d)叶子结点:当low < high时;e)可以看出这是一个先序调用的二叉树
栈:要保存的数据是两个表示范围的坐标.
void qsort_nonrecursive(int array[], int low, int high)
{
int m[50], n[50], cp, p;
/* 初始化栈和栈顶指针 */
cp = 0;
m[0] = low;
n[0] = high;
while (m[cp] < n[cp]) {
while (m[cp] < n[cp]) { /* 向左走到尽头 */
p = partition(array, m[cp], n[cp]); /* 对当前结点的访问 */
cp++;
m[cp] = m[cp - 1];
n[cp] = p - 1;
}
/* 向右走一步 */
m[cp + 1] = n[cp] + 2;
n[cp + 1] = n[cp - 1];
cp++;
}
}
3)例子三
阿克曼函数:
akm(m, n) = n + 1; (m = 0时)
akm(m - 1, 1); (n = 0时)
akm(m - 1, akm(m, n - 1)); (m != 0且n != 0时)
递归算法如下:
int akm_recursive(int m, int n)
{
int temp;
if (m == 0)
return (n + 1);
else if (n == 0)
return akm_recursive(m - 1, 1);
else {
temp = akm_recursive(m, n - 1);
return akm_recursive(m - 1, temp);
}
}
这个例子相对难一些,不过只要正确的分析递归调用树和栈的变化情况就不难解决,先卖个关子,晚上再来公布答案,感兴趣的可以先想想.