单位冲激偶信号δ'(t)的基本性质

单位冲激偶信号 (delta^prime(t)) 的基本性质

1. (delta^prime(t))的面积为零：(displaystyleint_{-infty}^{infty} delta^prime(t)dt = 0)

2. 筛选特性：(x(t)delta^prime(t-t_0) = x(t_0)delta^prime(t-t_0) - x^prime(t_0)delta(t-t_0))

   推导过程：

   [egin{aligned} left(x(t)delta(t-t_0) ight)^prime &= x(t_0)delta'(t-t_0)\ &= x'(t) delta(t-t_0) + x(t)delta'(t-t_0)\ &= x'(t_0)delta(t-t_0) + x(t)delta'(t-t_0)\ x(t)delta'(t-t_0) &= x(t_0) delta'(t-t_0) - x'(t_0)delta(t-t_0) end{aligned} ]

3. 取样特性：(displaystyleint_{-infty}^{+infty}x(t)delta^prime(t-t_0) dt = -x^prime(t_0))

   注意积分区间是否包含冲激点。

4. 微分器：(x(t) * delta^prime(t) = x^prime(t))，(x(t)*delta^prime(t-t_0) = x^prime(t-t_0))

   推导过程：

   [egin{aligned} x(t) * delta'(t-t_0) &= int_{-infty}^{+infty} x(k) delta'left( (t - k) -t_0 ight) dk\ &= int_{-infty}^{+infty} - x(k) delta'left(k-(t-t_0) ight) dk\ &= -int_{-infty}^{+infty} x(t-t_0)delta'(k-(t-t_0)) - x'(t-t_0)delta(k-(t-t_0)) dk\ &= x'(t-t_0) end{aligned} ]

   注意：卷积运算 (f(t)*g(t) = int_{-infty}^{infty}f(k) g(t-k))，若 (g(t)=h(t-t_0))，则(g(t-k)=h(t-k-t_0))，所以 (f(t)*h(t-t_0) = int_{-infty}^{infty}f(k) h((t-k)-t_0))。

5. 展缩特性：(delta^prime(at+b)=frac{1}{a|a|}delta^prime(t+frac{b}{a}))

6. 这是一个奇函数