法雷级数定义 R.亨斯贝尔格著李忠翻译的《数学中的智巧》一书,介绍了法雷级数。这里每一行从0/1开始,以1/1结尾,其它数自左至右将所有的真分数按增加顺序排列;第n行是由所有分母小于或等于n的真分数组成,我们称为n阶法雷级数。如下表:
F1: 0/1 1/1
F2: 0/1 1/2 1/1
F3: 0/1 1/3 1/2 2/3 1/1
F4: 0/1 1/4 1/3 1/2 2/3 3/4 1/1
F5: 0/1 1/5 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 4/5 1/1
F6:0/1 1/6 1/5 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 4/5 5/6 1/1
…… ………………………………
这里我们想问的是第n行Fn的真分数的个数有多少个呢?
我们设Fn的个数为ψ(n), ψ(n)比 ψ(n-1)增加的个数是分母是n,分子比n小且与n互质的数的个数,这正是欧拉函数φ(n)。即
ψ(n)=ψ(n-1)+ φ(n)
ψ(1)=1+φ(1)
ψ(2)=ψ(1)+φ(2)
ψ(3)=ψ(2)+φ(3)
………………
ψ(n)= ψ(n-1)+ φ(n)
所以 ψ(n)=1+φ(1)+φ(2)+φ(3)+……+φ(n)很容易证明,当n≥3时,欧拉函数φ(n)是个偶数。由此我们得到除ψ(1)=2是偶数外,法雷级数其它各级的个数都是奇数,并且许多是素数。ψ(1)=2,ψ(2)=3,ψ(3)=5,ψ(4)=7,ψ(5)=11,ψ(6)=13,ψ(7)=19,ψ(8)=23,ψ(9)=29,……。
性质
法雷级数Fn具有很多美妙的性质,下面是一些常见的性质:
1.如果a/b,c/d是相邻的两项,则abs(a*d-b*c)=1。
2.如果a/b,c/d,e/f是相邻的三项,则 (a+e)/(b+f)=c/d,特别的,如果c/d是新添加的,即c/d不属于F(n-1),则c=a+e;d=b+f。
性质2对于这个问题至关重要,它的证明可以参见哈代(Hardy)写的数论导引第三章
关于Farey级数的介绍。根据这条性质可以知道,丛F(n−1)到F(n)的构造过程中,F(n)的新项的分母一定是其相领两项的分母和。另一方面,如果F(n−1)中的相邻两项 a/b,c/d, b+d=n,则(a+c)/n一定会被添加到F(n)中。
题目:poj3090
链接:http://poj.org/problem?id=3090
题意:一个(n+1)*(n+1)的点阵,问多少点能被点(0,0)看到。如果(0,0)到(i,j)的连线被点挡住就算看不到。
用数组ans[i]记录(i+1)*(i+1)的点阵可以看到的点数,则x=y=i的点肯定不能看到,考虑x>y的情况,很容易发现规律:点(x,y)能被发现只有当gcd(x,y)=1时,否则会被点
(x/gcd(x,y),y/gcd(x,y))挡住,然后只需要计算i的欧拉函数值,即点(i,i)的下方有多少点满足条件,再加上x<y的情况(对称的),所以ans[i]=ans[i-1]+2*phi[i]。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> using namespace std; const int maxn=1000+10; int a[maxn]; int euler(int n) { int ans=n; for(int i=2;i*i<=n;i++) if(n%i==0) { ans=ans/i*(i-1); while(n%i==0) n/=i; } if(n>1) ans=ans/n*(n-1); return ans; } int main() { int t; cin>>t; for(int cas=1;cas<=t;cas++) { int n; cin>>n; memset(a,0,sizeof(a)); a[1]=3; for(int i=2;i<=n;i++) a[i]=a[i-1]+euler(i)*2; cout<<cas<<" "<<n<<" "<<a[n]<<endl; } return 0; }
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> using namespace std; const int maxn=1000+10; int phi[maxn]; void phi_table(int n) { for(int i=2;i<=n;i++) phi[i]=0; phi[1]=1; for(int i=2;i<=n;i++) if(!phi[i]) for(int j=i;j<=n;j+=i) { if(!phi[j]) phi[j]=j; phi[j]=phi[j]/i*(i-1); } } int main() { int t; cin>>t; phi_table(1000); for(int cas=1;cas<=t;cas++) { int n; cin>>n; phi[1]=3; long long ans=0; for(int i=2;i<=n;i++) ans+=2*phi[i]; cout<<cas<<" "<<n<<" "<<ans+3<<endl; } return 0; }