POJ3094 Sky Code(莫比乌斯反演)
题意
给你(nle 10^5)个数，这些数(le 10^5)，问这些这些数组成的互不相同的无序四元组(a,b,c,d)使得gcd(a,b,c,d)=1的四元组有多少？
解法
枚举一个约数(k)，看看总共有多少个数(S_k={x})满足(k|x)。那么可以保证(a,b,c,d)有的一个共同的因子是k，这样的四元组的个数就是
[F(k)={|S_k|choose 4}
]
这样算会算重，比如枚举到(k=4)再枚举到(k=2)，这两者的方案显然有重复，加入有一个四元组满足有一个共同约数是4，那么他们一定也可以满足有一个共同约数是2。我们记(f(x)=)最大公因数是(x)的四元组的数量。上面的那个大(F(x))就表示有一个公因数(不是最大公因数)是(x)的四元组的数量
我们数学模型化这个算重的关系：
[F(x)=Sigma_{x|d}f(d)
]
这不就是莫比乌斯反演可以解决的嘛 piece of cake
[f(x)=Sigma_{x|d}mu(d)F(frac d x)
]
那么把(f(1))求出来就好了
Q:你这样不是O(n^2)吗，你怎么实现可以在正确的复杂度内得到每个数所有的因数？
A:开个桶表示每个(|S_k|)，枚举(iin [2,sqrt x])，把(i)和(x/i)都丢在桶里计数。复杂度(O(n^{1.5}))注意当(i=x/i)的时候只算一次！
//@winlere
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std; typedef long long ll;
template < class ccf > inline ccf qr(ccf ret){ ret=0;
register char c=getchar();
while(not isdigit(c)) c=getchar();
while(isdigit(c)) ret=ret*10+c-48,c=getchar();
return ret;
}
const int maxn=1e4+1;
ll c[maxn][5];
int n;
ll ans;
int buk[maxn];
int cnt[maxn];
bool data[maxn];
int mu[maxn];
bool usd[maxn];
vector < int > ve;
inline void pr(){
usd[1]=1;mu[1]=0;
for(register int t=2;t<maxn;++t){
if(not usd[t]) ve.push_back(t),mu[t]=-1;
for(register int i=0,edd=ve.size();i<edd;++i){
register int k=ve[i];
if(1ll*k*t>maxn)break;
usd[k*t]=1;
if(t%k==0) break;
mu[k*t]=-mu[t];
}
}
}
int main(){
c[0][0]=1;
pr();
for(register int t=1;t<maxn;++t){
c[t][0]=1;
for(register int i=1;i<=4;++i)
c[t][i]=c[t-1][i-1]+c[t-1][i];
}
while(~scanf("%d",&n)){
ans=c[n][4];
memset(buk,0,sizeof buk);
for(register int t=1,data;t<=n;++t){
++buk[data=qr(1)];
for(register int i=2;i*i<=data;++i)
if(data%i==0)
if(++buk[i],data/i!=i) ++buk[data/i];
}
for(register int t=1;t<maxn;++t)
if(buk[t]>=4&&mu[t])
ans+=mu[t]*c[buk[t]][4];
printf("%lld
",ans);
}
return 0;
}