Codeforces 919E

919E - Congruence Equation

思路：

费马小定理。

n*a^n = b (mod p)

根据费马小定理 a^(p-1) = 1 (mod p)

我们把n化为 n=i+y(p-1)

于是[i+y(p-1)]*a^ [i+y(p-1)] = b (mod p)

再根据费马小定理a^ [i+y(p-1)]=a^i  (mod p)

于是[i+y(p-1)]*a^i = b (mod p)

于是y = (b/(a^i)-i)/(p-1) (mod p)

于是y = (b/(a^i)-i)/(p-1) +k*p(除法用逆元做)

我们发现如果i>p，那么mod p 后还是在0 到 p-1的范围内，所以 0<=i<p，又因为i=0不满足题意，于是0<i<p

于是题目就转换成了遍历i，对于每个i，找有多少个y满足题意

因为n<=x，所以i+y*(p-1)<=x，所以y<=(x-i)/(p-1)，所以对于每个i的y的上界可以确定，找y的个数就很简单了

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define pb push_back
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))

const int N=1e6+5;
int inv[N];
void init(int p){
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<p;i++)inv[i]=(p-p/i)*1ll*inv[p%i]%p;
}
ll qpow(ll a,ll b,ll p){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans=(ans*a)%p;
        b>>=1;
        a=(a*a)%p;
    }
    return ans;
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    ll a,b,p,x;
    cin>>a>>b>>p>>x;
    init(p);
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<p;i++){
        ll t=qpow(a,i,p);
        ll y=((b*inv[t]-i+p)%p*inv[p-1])%p;
        ll yy=(x-i)/(p-1);
        if(i+y*(p-1)>x)continue;
        ll add=(yy-y)/p+1;
        ans+=add;
        //cout<<i<<' '<<add<<' '<<y<<' '<<yy<<endl;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}