海明码

海明码的思想经常用到，有必要进行深入学习。

首先，海明码是一种可以纠正一位错误的二进制编码。一种编码的纠错能力取决于该编码的码距，下面介绍码距。

如图1所示的一个编码系统，用三位二进制来表示八个不同信息。在这个系统中，两个码字之间不同的位数从1到3不等，但最小值为1，故这个系统的码距为1。如果任何码字中一位或多位出了差错，结果这个码字就不能与其它码字区分。例如，如果传送信息001，而被误收为011，因011仍是表中的合法码字，接收方仍将认为011是正确的信息。但是，如果用四个二进数字来编8个码字，那么在码字间的最小距离可以增加到2，如图2的表中所示。

             图1                                                  图 2

注意，图2的8个码字相互间最少有两位的差异。因此，如果任何码字的一个数位出差错，就成为一个不用的码字，就能检查出来。例如信息是1001，误收为1011，接收方知道发生了一个差错，因为1011表中没有，不是一个码字。然而，差错不能被纠正。因为，正确码字可以是1001，1111，0011或1010。接收方不能确定原来到底是这4个码字中的哪一个。同时， 在这个系统中，偶数个（2位或4位）差错也无法发现。

为了使一个系统能纠正一位差错，码距最小是3。最小距离为3时，或能纠正一位错，或能检测二位错，但不能同时纠正一位错并检测二位错。编码信息纠错和检错能力的提高需要进一步增大编码系统的码距。图3的表概括了编码系统的码距为1至7时，码的纠错和检错能力。

图3

海明码有k个信息位，r个冗余位，构成k+r位码字。其中2^r >= k+r+1：因为k+r位码字，一位出错，就有k+r种错误情况，外加一个正确的码字，即任意k+r位码总共就有k+r+1种情况。冗余位依次放在第2ⁱ(i=0,1,2,3...)位。其余位置为信息位。4个信息位k0,k1,k2,k3；3个冗余位r0,r1,r2。码字位置排放如下：

   

确定校验位(冗余位)：第i个信息位的位数为参与校验它的校验位的位数之和。如上例7=4+2+1；6=4+2；5=4+1；3=2+1。

从上式可得，k3要参与r2,r1和r0的生成，k2参与r2和r1的生成，k1参与r2,r0的生成，k0参与r1和r0的生成。则产生下列式子。

                          r2=k3+k2+k1；r1=k3+k2+k0; r0=k3+k1+k0.其中+代表异或。

接收端检验码字。只需要使用以下关系式对这三个偶校验关系进行验证：

s2=r2+k3+k2+k1；s1=r1+k3+k2+k0；s0=r0+k3+k1+k0                              

其中s2，s1，s0称为校正因子。若没有错，三个校正因子都为0，若不全为0，则有错误发生，错误的位置在S=S2 S1 S0。