用图像解不等式

前言

为什么要用图像解不等式？自然是用数的角度不能顺利求解，要么不等式是超越不等式，要么是抽象不等式，或者是分段函数不等式等等；总之一句话，从数的角度思考不能解决的，都可以尝试考虑换个角度，从形入手分析。

求解原理

定义域值域

题型解法

用图像解抽象或分段不等式

函数(f(x))是周期为4的偶函数，当(xin[0，2])时，(f(x)=x-1)，求不等式(xcdot f(x)>0)在([-1，3])上的解集。

解法思路：利用条件先做出抽象函数的图像，然后读图解不等式

法1：自己作图如右，读图即可解答，解集为((-1，0)cup(1，3))；

法2：利用积的符号法则求解，

原不等式等价于(egin{cases}x>0\f(x)>0end{cases})或(egin{cases}x<0\f(x)<0end{cases})，

读图即可解答，解集为((-1，0)cup(1，3))；

感悟反思：1、学图像，用图像，天经地义。2、熟练掌握分段函数的图像，对解题很有帮助。

【2020届高三文科数学用题】设函数(y=f(x+1))是定义在((-infty,0)cup(0,+infty))上的偶函数，在区间((-infty,0))上是减函数，且图像经过点((1，0))，则不等式((x-1)cdot f(x)leqslant 0)的解集为______。

分析：由于(f(x+1))为偶函数，故其满足(f(-x+1)=f(x+1))，则函数(f(x))的对称轴为(x=1)，

可以先做出函数(y=f(x+1))的示意图，再向右平移一个单位得到函数(y=f(x))的示意图如下，

不等式((x-1)cdot f(x)leqslant 0)可化为(left{egin{array}{l}{x>1}\{f(x)leqslant 0}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{x<1}\{f(x)geqslant 0}end{array} ight.)

解读图像可知，解集为({xmid xleqslant 0或1<xleqslant 2})，故(xin (-infty，0]cup(1，2]).

用图像解超越不等式

解关于(x)的不等式(lnx>1-x)；

解法思路：利用条件先做出抽象函数的图像，然后读图解不等式

分析：你应该能感觉到，这个题目用我们平常的那种解法(代数解法)已经不能做出来了，

因为它不是我们熟悉的那种代数不等式，而是超越不等式，这时候就需要我们借助图像来求解。

比如分别作出两个函数(y=lnx)和(y=1-x)的图像观察求解，如右图所示，解集为((1，+infty))；

思路2：从数的角度，利用函数计算，令(g(x)=lnx+x-1(x>0))，

则(g'(x)=cfrac{1}{x}+1>0)恒成立，故(g(x))在((0，+infty))上单调递增，

又(g(1)=0)，故(0< x<1)时，(g(x)<0)，(x>1)时(g(x) >0)，

综上，故(x)的取值范围为((1，+infty))。

感悟反思：1、同类题目牛刀小试一下；2、超越不等式

• 解关于(x)的不等式(2^x>1-x)；解集为((0，+infty))；

• 解关于(x)的不等式(log_2^x>cfrac{2}{x})；解集为((2，+infty))；

用图像解构造的函数不等式

【2015(cdot)全国卷2】设函数(f'(x))是奇函数(f(x)(xin R))的导函数，(f(-1)=0)，当(x>0)时，(xf'(x)-f(x)<0)，则使得(f(x)>0)成立的(x)的取值范围是【】

$A.(-infty，-1)cup(0，1)$ $B.(-1，0)cup(1，+infty)$ $C.(-infty，-1)cup(-1，0)$ $D.(0，1)cup(1，+infty)$

解法思路：利用条件先做出导函数的图像，然后读图解不等式

【法1】注意到(xf'(x)-f(x) <0)，故构造函数(g(x)=cfrac{f(x)}{x})，则函数(g(x))为偶函数；

(g'(x)=cfrac{xf'(x)-f(x)}{x^2})，结合当(x>0)时，(xf'(x)-f(x)<0)，

可知，当(x >0)时，(g'(x)<0)，即(g(x))在((0，+infty))上单调递减，

由偶函数可知，(g(x))在((-infty，0))上单调递增，

又(f(-1)=0)，即(g(-1)=cfrac{f(-1)}{-1}=0)，且(g(1)=g(-1)=0)，

从而做出(g(x))的图像如图所示，

以下说明如何利用(g(x))的图像解不等式(f(x)>0)；

第一象限的函数图像(注意此时有(0 < x <1))，满足(g(x)=cfrac{f(x)}{x}>0) 且 (x >0)，

由符号法则得(f(x)>0)，将这段函数图像向(x)轴作射影，

得到(0<x<1)，即当(0< x <1)时，必有(f(x) >0) 成立；

同理可知，由第二象限的图像，注意此时有(-1< x <0)及 (g(x)>0)，可得当(-1< x <0)时，必有(f(x)<0)，不符；

同理，由第三象限的图像，注意此时有(x <-1)及 (g(x)>0)，可得当(x <-1)时，必有(f(x) >0)，符合；

同理，由第四象限的图像，注意此时有(x >1)及 (g(x) <0)，可得当(x >1)时，必有(f(x) <0)，不符；

综上所述，(f(x)>0)的解集是((-infty，-1)cup(0，1))。选A

【法2】有了法1做基础，我们可以简化如下，(y)轴右侧的图像，代表(x >0)，

那么(g(x)=cfrac{f(x)}{x})的分母就为正，现在要求解(f(x) >0)，此时必然会选择(x)轴上方的图像，其满足 (g(x) >0)，

故将这段图像向(x)轴作射影，落在区间((0 ，1))上，故有(0< x <1)时，(f(x) >0)；

而(y)轴左侧的图像，代表(x <0)，

那么(g(x)=cfrac{f(x)}{x})的分母就为负，现在要求解(f(x)>0)，此时必然会选择(x)轴下方的图像，其满足 (g(x)<0)，

故将这段图像向(x)轴作射影，落在区间((-infty ，-1))上，说明(x <-1)时，(f(x)>0)；

综上所述，(f(x)>0)的解集是((-infty，-1)cup(0，1))。选(A)

感悟反思：若(g(x)=xcdot f(x))或者(g(x)=cfrac{f(x)}{x})，由符号法则可知，(g(x))的正负取决于其因子(x)和(f(x))的正负；

【构造函数】【构造函数解不等式】设(f(x))，(g(x))分别是定义在(R)上的奇函数和偶函数，且(g(x)≠0)，当(x＜0)时(f′(x)g(x)＞f(x)g′(x))，且(f(-3)=0)，则不等式(f(x)g(x)＜0)的解集是______．

分析：令(h(x)=cfrac{f(x)}{g(x)})，则可知(h(x))为奇函数，

则(h'(x)=cfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)})，

由(x<0)时(f′(x)g(x)＞f(x)g′(x))，

可得(xin(0，+infty))时，(h'(x)>0)，即(h(x))单调递增，

由奇函数可知，(xin (-infty，0))时，(h(x))单调递增，

且(h(0)=0)，由(f(-3)=0)还可得到(h(-3)=h(3)=0)

做出示意图，由图可知，

故由(h(x)=cfrac{f(x)}{g(x)}<0)，可得(xin(-infty，-3)cup(0，3))。

又(cfrac{f(x)}{g(x)}<0)等价于(f(x)g(x)<0)，

故不等式(f(x)g(x)＜0)的解集是(xin(-infty，-3)cup(0，3))。

备忘，有时间补充，用图像解三角不等式、对数不等式、指数不等式等等，还有代数不等式，如二次不等式；一次不等式，分式不等式，高次不等式等等。

延伸阅读

1、用导函数的图像判断原函数的单调性

2、用图像求定义域

3、用图像求值域

4、用图像判断单调性

5、用图像判断奇偶性

6、用图像判断周期性

7、用图像判断对称性

8、用图像解读函数特殊点值。