切线方程的应用

【2016•德州模拟】函数(y＝x^2(x>0))的图像在点((a_k，a_k^2))处的切线与(x)轴交点的横坐标为(a_{k+1})，其中 (kin N*)，若(a_1＝16)，则(a_1＋a_3＋a_5)的值是________．

分析：由(f'(x)=2x)得，在点((a_k，a_k^2))处的切线方程为(y-a_k^2=2a_k(x-a_k)(kin N*))，

令(y=0)，得到切线方程与(x)轴的交点的横坐标为(x=cfrac{a_k}{2})，

即(a_{k+1}=cfrac{a_k}{2})，即(cfrac{a_{k+1}}{a_k}=cfrac{1}{2})，

故数列({a_k})是首项为(a_1=16)，公比为(cfrac{1}{2})的等比数列，

故(a_1＋a_3＋a_5=16+16cdot (cfrac{1}{2})^2+16cdot (cfrac{1}{2})^4=21)。

总结：1、求在点处的切线方程；2、等比数列

对正整数(n)，设曲线(y=(2-x)x^n)在(x=3)处的切线与(y)轴交点的纵坐标为(a_n)，则数列({cfrac{a_n}{n+2}})的前(n)项和为________。

分析：由于(y=(2-x)x^n)，则(y'=-x^n+n(2-x)x^{n-1})；

则(y'|_{x=3}=-3^n-n3^{n-1}=-3^{n-1}(n+3))；

故切线方程为(y+3^n=-3^{n-1}(n+3)(x-3))，

令(x=0)，得到切线与(y)轴的交点的纵坐标为(a_n=(n+2)3^n)，

故(cfrac{a_n}{n+2}=3^n)，为等比数列，

故数列({cfrac{a_n}{n+2}})的前(n)项和为(S_n=cfrac{3(1-3^n)}{1-3}=cfrac{3^{n+1}-3}{2})。

对正整数(n)，设曲线(y=(1-x)x^n)在(x=2)处的切线与(y)轴交点的纵坐标为(a_n)，则数列({cfrac{a_n}{n+1}})的前(n)项和(T_n)为________。

提示：(T_n=2^{n+1}-2)，仿上例完成。

分析：(y=f(x)=x^n(1-x)=x^n-x^{n+1})，则(f'(x)=nx^{n-1}-(n+1)x^n)，

则(k=f'(2)=n2^{n-1}-(n+1)2^n=n2^{n-1}-(n+1)2^{n-1}cdot 2=n2^{n-1}-(2n+2)2^{n-1}=2^{n-1}(n-2n-2)=-(n+2)cdot 2^n)

又切点为((2，-2^n))，则切线方程为(y-(-2^n)=-(n+2)2^n(x-2))，

令(x=0)，得到切线与(y)轴交点的纵坐标(y=(n+1)2^n=a_n)，

令(b_n=cfrac{a_n}{n+1}=2^n)，数列(cfrac{a_n}{n+1})的前(n)项和为(T_n=2+2^2+2^3+cdots+2^n=cfrac{2(2^n-1)}{2-1}=2^{n+1}-2)；

【2015(cdot)高考安徽卷】设(nin N^*)，(x_n)是曲线(y=x^{2n+2}+1)在点((1，2))处的切线与(x)轴交点的横坐标。

(1)、求数列({x_n})的通项公式。

分析：(y'=(x^{2n+2}+1)'=(2n+2)x^{2n+1})，

则曲线(y=x^{2n+2}+1)在点((1，2))处的切线斜率为(2n+2)，

从而切线方程为(y-2=(2n+2)(x-1))，令(y=0)，

解得切线与(x)轴交点的横坐标(x_n=1-cfrac{1}{n+1}=cfrac{n}{n+1})，

所以数列({x_n})的通项公式为(x_n=cfrac{n}{n+1})。

(2)、记(T_n=x_1^2x_3^2cdots x_{2n-1}^2)，证明：(T_nge cfrac{1}{4n})。

分析：由题设和(1)中的计算结果可知，

(T_n=x_1^2x_3^2cdots x_{2n-1}^2=(cfrac{1}{2})^2cdot (cfrac{3}{4})^2cdots (cfrac{2n-1}{2n})^2)，

当(n=1)时，(T_1=cfrac{1}{4})；

当(nge 2)时，由于(x_{2n-1}^2=(cfrac{2n-1}{2n})^2=cfrac{(2n-1)^2}{(2n)^2})

(>cfrac{(2n-1)^2-1}{(2n)^2}=cfrac{2n-2}{2n}=cfrac{n-1}{n})；

则(x_1^2=(cfrac{1}{2})^2)，

(x_3^2> cfrac{1}{2})

(x_5^2> cfrac{2}{3})

(cdots)，

(x_{2n-3}^2> cfrac{n-2}{n-1})

(x_{2n-1}^2> cfrac{n-1}{n})

所以，(T_n>(cfrac{1}{2})^2 imes cfrac{1}{2} imes cfrac{2}{3} imes cdots imes cfrac{n-2}{n-1} imescfrac{n-1}{n}=cfrac{1}{4n})；

综上可知，对任意的(nin N^*)，均有(T_nge cfrac{1}{4n})。

【2019(cdot)高三理科数学资料用题】对于每一个正整数(n)，设曲线(y=x^{n+1})在点((1，1))处的切线与(x)轴的交点的横坐标为(x_n)，令(a_n=lgx_n)，则(a_1+a_2+cdots+a_{99})=_____________。

分析：(y'=(n+1)x^n)，则曲线在点((1，1))处的切线的斜率为(k=n+1)，

则切线方程为(y-1=(n+1)(x-1))，

令(y=0)，得到(x_n=cfrac{n}{n+1})，

则(a_n=lgx_n=lgcfrac{n}{n+1})

所以(a_1+a_2+cdots+a_{99}=lg(cfrac{1}{2} imes cfrac{2}{3} imescfrac{3}{4} imescdots imescfrac{99}{100}))

(=lg cfrac{1}{100}=-2)。

【2019南阳模拟】已知各项均为正数的等比数列({a_n})，(a_3cdot a_5=2)，若(f(x)=x)((x-a_1))((x-a_2))(cdots)((x-a_7))，则(f'(0))=【】

$A.8sqrt{2}$ $B.-8sqrt{2}$ $C.128$ $D.-128$

分析：将原函数拆分为两部分，令(f(x)=xcdot g(x))，(g(x)=)((x-a_1))((x-a_2))$cdots $$(x-a_7)$，

则(f'(x)=g(x)+xcdot g'(x))，则(f'(0)=g(0)+0cdot g'(0)=g(0))，

(g(0)=)((0-a_1))((0-a_2))$cdots $$(0-a_7)=-a_1cdot a_2cdots a_7=-a_4^7$①，

又由于各项均为正数的等比数列({a_n})，(a_3cdot a_5=2)，则(a_4^2=2)，(a_4=sqrt{2})，

代入①式，得到(f'(0)=g(0)=-8sqrt{2})，故选(B)。

已知(l)为曲线(y=cfrac{a+lnx}{x})在点((1，a))处的切线，当直线(l)与坐标轴围成的三角形的面积为(cfrac{1}{2})时，实数(a)的值为________.

分析：由于(y'=cfrac{1-a-lnx}{x^2})，则(f'(1)=1-a)，

则切线方程为(y-a=(1-a)(x-1))；

令(x=0)得到(y=2a-1)，令(y=0)得到(x=cfrac{1-2a}{1-a})，

所以面积(S=cfrac{1}{2}|x|cdot |y|=cfrac{1}{2}cdot cfrac{|2a-1|^2}{|1-a|}=cfrac{1}{2})

解得(a=0)或(a=cfrac{3}{4}) .