解析几何习题

预备知识

已知直线(l_1：A_1x+B_1y+C_1=0)；(l_2：A_2x+B_2y+C_2=0)；

则①(l_1perp l_2Leftrightarrow A_1A_2+B_1B_2=0)；说明如下：

当两条直线的斜率都存在时，(k_{l_1}=-cfrac{A_1}{B_1})，(k_{l_2}=-cfrac{A_2}{B_2})，

由(k_{l_1}cdot k_{l_2}=-1)，即((-cfrac{A_1}{B_1})cdot (-cfrac{A_2}{B_2})=-1)，

整理得到$ A_1A_2+B_1B_2=0$；

当两条直线中的一条斜率不存在时，则另一条必然斜率为(0)，

比如(B_2=0)，则直线(l_2)的斜率不存在，则直线(l_2)与(x)轴垂直，

那么由互相垂直可知，直线(l_1)必然斜率为(0)，即(A_1=0)，

故也满足$ A_1A_2+B_1B_2=0$；

故综上所述，(l_1perp l_2Leftrightarrow A_1A_2+B_1B_2=0)；

典例剖析

例1【两条直线垂直】
已知直线(l_1：ax-y+2a=0)与直线(l_2：(2a-1)x+ay+a=0)互相垂直，则(a)的值为____________。

法1：由于我们主要是利用(k_1cdot k_2=-1)求解，故需要分类讨论，以保证将有斜率和无斜率的情形分开考虑：

当(a=0)时，(l_1：y=0)，(l_2：x=0)，故互相垂直，满足题意；

当(a eq 0)时，(k_{l_1}=a)，(k_{l_2}=-cfrac{2a-1}{a})，由(k_{l_1}cdot k_{l_2}=-1)得到，

(acdot (-cfrac{2a-1}{a})=-1)，解得(a=1)，

综上所述得到，(a=0)或(a=1)。

法2：不分类讨论，利用两条直线互相垂直的充要条件得到：

(acdot (2a-1)+(-1)cdot a=0)，即(2a^2-2a=0)，

解得(a=0)或(a=1)。

例2已知点(A(2，3))和(B(2，-2))，试在(y)轴上求一点(C)，使得(Delta ABC)为直角三角形。

分析：做出图形，由图形可知需要分类讨论；

①当点(C(0，3))时，(Delta ABC)为(A=90^{circ})的直角三角形。

②当点(C(0，-2))时，(Delta ABC)为(B=90^{circ})的直角三角形。

③当(A eq 90^{circ})且(B eq 90^{circ})时，设点(C(0，b))，

则由(k_{AC}cdot k_{BC}=-1)，解得(b=-1)或(b=2)，

即点(C(0，-1))或(C(0，2))时，(Delta ABC)为(C=90^{circ})的直角三角形。