思维|从函数到分段函数

前言

高中阶段有关分段函数的问题，学生很容易出错，一类是分段函数和复合函数的融合，一类是分段函数方程或分段函数不等式问题，有些学生总是想不通其解法，特作以总结整理。

案例列举1

已知(f(x)=egin{cases}2e^{x-1}，&x<2\log_3;(x^2-1)，&xge 2end{cases})，求 (f(x+1))的表达式；

分析：由题目可知，已知 (f(x)) 的解析式，求 (f(x+1))的解析式，其实质是用 (x+1) 替换 (x) 而得到，故

(f(x+1)=egin{cases}2e^{(x+1)-1}，&x+1<2\log_3;((x+1)^2-1)，&x+1ge 2end{cases})，

即得到解析式如下，[注意：学生容易在分段函数的定义域处出错]

[f(x+1)=egin{cases}2e^{x}，&x<1\log_3;((x+1)^2-1)，&xgeqslant 1end{cases} ]

同理同法，我们可以求解 (f(x-1))，(f(2x+3))等等。

案例列举2

求解这样的问题，设函数(f(x)=egin{cases}2e^{x-1}，&x<2\log_3;(x^2-1)，&xge 2end{cases})，则方程(f(x)=2)的解集是_______. 我们该如何思考呢？

思维提升

我们不妨用减法这样思考，将分段函数的段数减少到一段，就得到了这样的问题，如下所示，

已知 (f(x)=2x^2-3x+1)，求 (f(x)=2)的解集，

很显然，我们会想到对 (f(x)) 做替换，得到 (2x^2-3x+1=2)，接下来就是求解常规的二次方程问题。

而一段函数也可以变形为分段函数，比如 (f(x)=egin{cases}2x^2-3x+1，&x<2\2x^2-3x+1，&xge 2end{cases})，

这样方程 (2x^2-3x+1=2)，也可以等价改写为如下的方程组：

(egin{cases}x<2\2x^2-3x+1=2end{cases})或者(egin{cases}xge2\2x^2-3x+1=2end{cases})，

然后，我们再做加法，当求解分段函数方程时，由于所分的段数为两段[其他两段以上的情形可以据此分析求解]，也要替换，不同的是必须带有前提条件，或解析式对应的定义域。

典例剖析

【2017(cdot)凤翔中学高三文科第二次月考第16题改编】设函数(f(x)=egin{cases}2e^{x-1}，&x<2\log_3;(x^2-1)，&xge 2end{cases})，则方程(f(x)=2)的解集是______________.

解析：原方程应该等价于以下的方程组：

(egin{cases}x<2\2e^{x-1}=2end{cases})或者(egin{cases}xge2\log_3;(x^2-1)=2end{cases})，

分别解得(x=1)或(x=sqrt{10})，

故方程的解集为({1，sqrt{10}})。

由于相等关系和不等关系是并列平行的关系，故求解分段函数不等式，我们就只需要将对应的等号变化为不等号即可完成相应的转化。

【2017(cdot)凤翔中学高三文科第二次月考第16题】设函数(f(x)=egin{cases}2e^{x-1}，&x<2\log_3;(x^2-1)，&xge 2end{cases})，则不等式(f(x)>2)的解集是______________.

分析：原不等式等价于以下两个不等式组(egin{cases}x<2\2e^{x-1}>2end{cases})或者(egin{cases}xge2\log_3;(x^2-1)>2end{cases})，

分别解得(1<x<2)或(x>sqrt{10})，

故解集为((1，2)cup(sqrt{10}，+infty))。