射影定理

前言

在初中和高中阶段，我们接触和使用的射影定理有以下两种形式。

射影定理1

直角三角形射影定理，又叫欧几里德(Euclid)定理，其内容：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

符号语言：如图，(Rt riangle ABC)中，(angle BAC=90°)，(AD)是斜边(BC)上的高，则有射影定理如下：

[➊AD^2=BDcdot DC ]

[➋AB^2=BDcdot BC ]

[➌AC^2=CDcdot BC ]

证明：这主要是由相似三角形来推出的，

例如，证明(AD^2=BDcdot DC)，

在( riangle BAD)与( riangle ACD)中，(∠B=∠DAC)，(∠BDA=∠ADC=90°)，

故( riangle BADsim riangle ACD)，所以 (cfrac{AD}{BD}＝cfrac{CD}{AD})，

所以得到，(AD^2=BDcdot DC). 其余仿此证明；

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

比如由公式➋+➌得到，

(AB^2+AC^2=BDcdot BC+CDcdot BC=(BD+CD)BC=BC^2)，

即(AB^2+AC^2=BC^2)，这就是勾股定理的结论。

射影定理2

任意三角形射影定理注释：以“(a)(＝)(bcdotcos C)(＋)(ccdotcos B)”为例，(b)、(c)在(a)上的射影分别为(bcdotcos C)、(ccdotcos B)，故名射影定理。(quad)，又称“第一余弦定理”，其内容为：三角形的任意一边的长等于其他两边在这条边上的射影之和。

符号语言：设( riangle ABC)的三边是(a)、(b)、(c)，它们所对的角分别是(A)、(B)、(C)，则有：

[➊a＝bcdotcos C＋ccdotcos B ]

[➋b＝ccdotcos A＋acdotcos C ]

[➌c＝acdotcos B＋bcdotcos A ]

[证法1]：设点(C)在直线(AB)上的射影为点(D)，

则(AC)、(BC)在直线(AB)上的射影分别为(AD)、(BD)，

且(AD=bcdotcos A)，(BD=acdotcos B)，

故(c=AD+BD=bcdotcos a＋acdotcos B). 同理可证其余。
　　
[证法2]：由正弦定理，可得：(b=cfrac{asin B}{sin A})，(c=cfrac{asin C}{sin A})

即(c=cfrac{asin(A+B)}{sin A}=cfrac{a(sin Acos B+cos Asin B)}{sin A})

(=acos B+(cfrac{asin B}{sin A})cos A=acdotcos B＋bcdotcos A). 同理可证其余。

[证法3]：以向量三角形为案例，

给(overrightarrow{CB}=overrightarrow{AB}-overrightarrow{AC})，两边同乘以向量(overrightarrow{CB})，

得到(overrightarrow{CB}cdotoverrightarrow{CB}=(overrightarrow{AB}-overrightarrow{AC})cdotoverrightarrow{CB})，

即(overrightarrow{CB}^2=overrightarrow{AB}cdotoverrightarrow{CB}-overrightarrow{AC}cdotoverrightarrow{CB})

即(overrightarrow{CB}^2=|overrightarrow{AB}|cdot|overrightarrow{CB}|cdotcos<overrightarrow{AB},overrightarrow{CB}>-|overrightarrow{AC}|cdot|overrightarrow{CB}|cdotcos<overrightarrow{AC},overrightarrow{CB}>)

即(overrightarrow{CB}^2=|overrightarrow{AB}|cdot|overrightarrow{CB}|cdotcos B>-|overrightarrow{AC}|cdot|overrightarrow{CB}|cdotcos(pi-C))

即(a^2=ccdot acdotcos B+bcdot acdotcos C)，两边约去(a)，

得到(a=ccdotcos B+bcdotcos C)，即得到射影定理，也称第一余弦定理。

使用场景

引例，如(cfrac{sin^2A+sin^2B-sin^2C}{c}=cfrac{sin Asin B}{acos B+bcos A})，

由射影定理2，将(acdotcos B＋bcdotcos A=c)，代入上式，

即(cfrac{sin^2A+sin^2B-sin^2C}{c}=cfrac{sin Asin B}{c})，

即得到(a^2+b^2-c^2=ab)，接下来的思路自然就通畅无阻了.

典例剖析

在 ( riangle ABC) 中， 内角 (A)， (B)， (C) 的对边分别是 (a)， (b)，(c) 若 (acos B-bcos A=cfrac{c}{2})，则表达式(cfrac{acos A+bcos B}{acos B}) 的最小值为____________.

解析: 在 ( riangle ABC) 中, (c=a cos B+b cos A)，[射影定理]

联立 (left{egin{array}{l}c=acos B+bcos A \ acos B-bcos A=cfrac{c}{2}end{array} ight.，) 解得(cos A=cfrac{c}{4b})，(cos B=cfrac{3c}{4a})，

所以 (cfrac{acos A+bcos B}{acos B}=cfrac{acdotcfrac{c}{4b}+bcdotcfrac{3c}{4a}}{acdotcfrac{3c}{4a}})

(=cfrac{1}{3}(cfrac{a}{b}+cfrac{3 b}{a})geqcfrac{1}{3} imes 2sqrt{cfrac{a}{b}cdotcfrac{3b}{a}})

(=cfrac{2sqrt{3}}{3})

当且仅当 (cfrac{a}{b}=cfrac{3 b}{a}) 时，等号成立.

故(cfrac{acos A+bcos B}{acos B}) 的最小值为(=cfrac{2sqrt{3}}{3})；