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高三文数二轮专题检测题03讲析[函数与导数02]录制视频
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题目详解
难点解析
(1).若(a=0)，求函数(f(x))的极值；
分析：若(a=0)，则函数(f(x)=cfrac{lnx}{x})，定义域为((0，+infty))，
则(f'(x)=cfrac{1-lnx}{x^2})，[此时借助分子函数(y=1-lnx)的图像，快速写出如下]
当(xin (0,e))时，(f'(x)>0)，则(f(x))单调递增，
当(xin (e,+infty))时，(f'(x)<0)，则(f(x))单调递减，
即函数(f(x))在((0,e))上单调递增，在((e,+infty))上单调递减，
所以函数(f(x))有极大值，极大值为(f(e)=cfrac{1}{e})，没有极小值；
[备注：此函数的图像使用频度很高，故建议学生理解记忆。如下]
(2).若在区间((1,+infty))上(f(x)<0)恒成立，求(a)的取值范围。
法1：分离参数+求新函数的最值+洛必达法则[成本较高]；
由题目可知，分离参数得到，(a(x-1)<-cfrac{lnx}{x})，则有(a<-cfrac{lnx}{x(x-1)})
令(g(x)=-cfrac{lnx}{x(x-1)})，需要求(g(x)_{min})，借助导数函数函数(g(x))；
(g'(x)=-cfrac{cfrac{1}{x} imes [x(x-1)]-lnx(2x-1)}{[x(x-1)]^2}=-cfrac{(x-1)-lnx(2x-1)}{[x(x-1)]^2})，
由于数或形的方法思路都不能说明(g'(x))的正负，故引入二阶导，
令(h(x)=(x-1)-lnx(2x-1))，(h'(x)=1-[cfrac{1}{x}(2x-1)+lnxcdot 2]=cfrac{1}{x}-2lnx-1)，
显然函数(h'(x))单调递减，又由于(h'(1)=0)，故(h'(x)<0)恒成立，
则函数(h(x))在区间((1,+infty))上单调递减，又(h(1)=0)，故(h(x)<0)恒成立，
则(g'(x)=-cfrac{(x-1)-lnx(2x-1)}{[x(x-1)]^2}=-cfrac{h(x)}{[x(x-1)]^2}>0)，
故函数(g(x))单调递增，由于(xin (1，+infty))上，故(g(x)_{min})的极限为(g(1))，
此时要求解(g(1))的值，就需要用到洛必达法则。
(g(1)=limlimits_{x o 1} g(x)=limlimits_{x o 1}{-cfrac{[lnx]'}{[x(x-1)]'}})
(=limlimits_{x o 1}{-cfrac{frac{1}{x}}{2x-1}}=-cfrac{1}{2 imes1-1}=-1)
又由于(xin (1，+infty))，故(aleqslant -1)。
法2：分类讨论[成本较低，但对数学素养要求比较高]；
由于(x>1)，故在区间((1,+infty))上(f(x)<0)恒成立，即(lnx+ax^2-ax<0)在区间((1,+infty))上恒成立，
设(g(x)=lnx+ax^2-ax)，[备注：则需要说明(g(x))的最小值或最小值极限小于零，此时必然需要针对参数(a)分类讨论]
1).当(ageqslant 0)时，(g(2)=ln2+2a>0)，故不符合题意；舍去(ageqslant 0)；
[备注：将最容易说明的情形放到最前面；为了说明不是恒成立，需要找个反例说明，故采用赋值法排除；]
2).当(a<0)时，(g'(x)=cfrac{1}{x}+2ax-a=cfrac{2ax^2-ax+1}{x})，
令(g'(x)=0)，则(2ax^2-ax+1=0)，由于方程(2ax^2-ax+1=0)的判别式(Delta =a^2-8a>0(a<0))，且两根之积为(cfrac{1}{2a}<0)，故方程(g'(x)=0)有两个不等实根，设两根为(x_1,x_2)，且(x_1<0<x_2)，则正实根(x_2)与定义域的关系如下：
①.当(x_2>1)时，函数(g'(x))的分子函数的图像如图所示，
所以(g(x))在区间((1,x_2))上单调递增，在区间((x_2,+infty))上单调递减，
故(g(x_2)>g(1)=0)，则不符合题意；[数学素养：(g(1)=ln1+a imes 1^2-a imes 1=0)]
②当(x_2leqslant 1)时，即(g'(1)=2a-a+1leqslant 0)，也即(aleqslant -1)时，
借助导函数的分子图像可知，
(g(x))在((1,+infty))上单调递减，所以当(xin (1,+infty))时，(g(x)<g(1)=0)，符合题意；[数学素养：(g(1)=ln1+a imes 1^2-a imes 1=0)]
综上所述，(aleqslant -1).
(2).判断函数(f(x))的零点个数。(直接写出结论)
分析：由题目的要求可知，我们可以自己用自己的方法探索这个题目，不一定是用很严谨的数学语言来推理论证。
那么我们就完全可以使用数形结合的方法来思考问题。将函数的零点个数问题转化为函数(y=cfrac{lnx}{x})与动态函数(y=a(1-x))的图像的交点个数问题了。
其中函数(y=cfrac{lnx}{x})的图像可以做出来[也要求要能做出来]，函数(y=a(1-x)=-ax+a)的图像是一条直线，恒过点((1.0))，则由动图容易知道，
当(-aleqslant 0)时，两个函数图像有一个交点；
当(-a>0)且在相切以前和相切后，两个函数图像有两个交点；
当相切时，两个函数图像有一个交点；由于相切时切点为((1,0))，故(-a=cfrac{1-lnx}{x^2}|_{x=1}=1)，则(a=-1)，
综上所述，当(ageqslant 0)或(a=-1)时，两个函数图像有一个交点；当(a<0)且(a eq -1)时，两个函数图像有两个交点；