求解函数不等式[给定具体函数]

前言

此时需要注意，和解抽象函数不等式不同的是，解具体函数不等式时所需要的函数性质，都涵盖在函数的解析式中，没有人告诉我们，需要我们自主挖掘这些隐含条件，比如定义域，单调性，奇偶性等等；

相关链接

• 1、函数方程与函数不等式；

• 2、求解抽象函数不等式；

本质剖析

案例解不等式((x^2-3x)^3>-8=(-2)^3)

法1：将左边用差的立方公式展开求解，估计你会自己打退堂鼓；

法2：借助函数(y=x^3)，定义域为(R)，增函数，故可以转化为(x^2-3x>-2)，即(x^2-3x+2>0)，

解得(x<1)或(x>2)，故解集为((-infty，1)cup(2，+infty))。

变式1已知函数(f(x)=x^3)，求解不等式(f(x^2-3x)>f(-2))，或者(f(x^2-3x)>-8)，

变式2已知函数(f(x)=x^5)，求解不等式(f(x^2-3x)>f(-2))，或者(f(x^2-3x)>-32)，

看完以上两个变式，估计你应该想到这一类不等式的求解本质，是借助这类函数的性质(定义域和单调性)来求解的，往往与这个函数的具体样子没有多大关系了。

简单层次

只需要借助定义域和单调性即可求解，甚至定义域为(R)时，定义域的限制都可以不予考虑。

例1【2019(cdot)高三练习】已知函数(f(x)=left{egin{array}{l}{x，xleqslant 0}\{ln(x+1)，x>0，}end{array} ight.) 若(f(2-x^2)>f(x))，求(x)的范围。

分析：做出分段函数的图像，由图像可知函数(f(x))在(R)上单调递增，则由(f(2-x^2)>f(x))，

得到(2-x^2>x)，解得(-2<x<1)。

例2【2020(cdot)高三文科练习】【注意自变量由(x)需要替换为(a)】已知函数(f(x)=left{egin{array}{l}{2^x，x<2}\{x^2，xgeqslant 2，}end{array} ight.) 若(f(a+1)geqslant f(2a-1))，则实数(a)的取值范围为【】

$A.(-infty，1]$ $B.(-infty，2]$ $C.[2，6]$ $D.[2，+infty)$

分析：自行做出函数的简图，由图可知函数(f(x))在定义域((-infty，+infty))上是增函数，

由于(f(a+1)geqslant f(2a-1))，则(a+1geqslant 2a-1)，

解得(aleqslant 2)，故选(B)。

定义域限制

例3【2020(cdot)高三文科练习】已知函数(f(x)=lnx+2^x)，若(f(x^2-4)<f(1))，则实数(x)的取值范围是______。

分析：函数的定义域为((0，+infty))，且在定义域上单调递增，故由(f(x^2-4)<f(1))，

得到(left{egin{array}{l}{x^2-4>0}\{x^2-4<1}end{array} ight.) 解得(-sqrt{5}<x<-2)或(2<x<sqrt{5})，

故填写((-sqrt{5}，2)cup(2，sqrt{5}))。

常数函数化

之所以需要将常数函数化或(f)化，就是为了利用函数的单调性，在两边同时去掉对应法则(f)，以便于将含有(f)的不等式转化为可以用常规方法求解的代数不等式。

例3-变式【2020(cdot)高三文科练习】已知函数(f(x)=lnx+2^x)，若(f(x^2-4)<2)，则实数(x)的取值范围是______。

分析：求解同上。

例2若(f(x)=e^x-ae^{-x})为奇函数，则(f(x-1)<e-cfrac{1}{e})的解集为【】

$A.(-infty，2)$ $B.(-infty，1)$ $C.(2，+infty)$ $D.(1，+infty)$

分析：由于函数(f(x)=e^x-ae^{-x})为奇函数且定义域为(R)，则(f(0)=0)，即(f(0)=1-a=0)，故(a=1)，则(f(x)=e^x-e^{-x})在(R)上单调递增，且(e-cfrac{1}{e}=f(1))，则(f(x-1)<e-cfrac{1}{e})变形为(f(x-1)<f(1))，则(x-1<1)，解得(x<2)，故选(A)。

添加奇偶

例2已知函数(f(x)=ln(sqrt{x^2+1}+x))，且(f(x-1)+f(x)>0)，求(x)的取值范围；

分析：先求定义域，由于(sqrt{x^2+1}ge pm sqrt{x^2})，故定义域为((-infty，+infty))，

又由于(f(-x)=ln(sqrt{x^2+1}-x))，故(f(x)+f(-x)=ln1=0)，故函数为奇函数。

当(xin [0，+infty))时，(x^2 earrow)，(1+x^2 earrow)，(sqrt{1+x^2} earrow)，(x+sqrt{1+x^2} earrow)，

(y=ln(x+sqrt{1+x^2}) earrow)，则由奇函数可知在((-infty，+infty))上，(f(x) earrow)，

故由定义域为(R)，奇函数，单调递增，则由(f(x-1)+f(x)>0)，

得到(f(x-1)>-f(x)=f(-x))，即(x-1>-x)，解得(x>cfrac{1}{2})，即(xin (cfrac{1}{2}，+infty))。

【变式1】已知奇函数(f(x))定义域为(R)，且单调递增，若(f(x-1)+f(x)>0)，求(x)的取值范围；

【变式2】已知定义在(R)上的函数(f(x))满足(f(-x)+f(x)=0)，且在(xin [0，+infty))上时，恒有(f'(x)geqslant 0)成立，若(f(x-1)+f(x)>0)，求(x)的取值范围；

【变式3】已知定义在(R)上的函数(f(x))图像关于原点对称，且在(x_1,x_2in [0，+infty))上时，有(cfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0(x_1 eq x_2))成立，若(f(x-1)+f(x)>0)，求(x)的取值范围；

例3已知定义在(R)上的偶函数(f(x)),在(xge 0)时，(f(x)=e^x+ln(x+1))，若(f(a)<f(a-1))，则(a)的取值范围是【】

$A.(-infty，1)$ $B.(-infty，cfrac{1}{2})$ $C.(cfrac{1}{2}，1)$ $D.(1，+infty)$

分析.根据题中所给的函数解析式,可知函数(y=e^x，y=ln(x+1))在([0，+infty))上是增加的,

故函数(f(x)=e^x+ln(x+1))在([0，+infty))上是增加的,

根据偶函数图像的对称性,可知函数在((-infty，0])上是减少的,

所以(f(a)<f(a-1))等价于(f(|a|)<f(|a-1|))，结合在([0，+infty))上是增加的,

解得(|a|<|a-1|)，两边同时平方去掉绝对值符号，

解得(a<cfrac{1}{2})，故选(B)。

解后反思：①、本题目如果分类讨论去掉符号(f)，就会变得很麻烦。②、遇到两个绝对值符号，通常平方处理。

提高难度

定义域，单调性和奇偶性都需要从函数的解析式中得到。

例1【2017(cdot)榆林模拟】函数(f(x)=lncfrac{1+x}{1-x}+sinx)，则不等式(f(a-2)+f(a^2-4)<0)的解集是【】

$A.(sqrt{3}，2)$ $B.(-3，2)$ $C.(1，2)$ $D.(sqrt{3}，sqrt{5})$

分析：这类题目往往需要取得符号(f)，而在此之前，需要转化为(f(M)<( 或>)f(N))的形式，

然后利用定义域和单调性去掉对应法则符号，就转化为了一般的不等式组了。

解析：先求定义域，令(cfrac{1+x}{1-x}>0)，解得定义域((-1，1))；

再求奇偶性，(f(-x)=lncfrac{1-x}{1+x}-sinx)，(f(x)=lncfrac{1+x}{1-x}+sinx)，所以(f(-x)+f(x)=0)，故函数为奇函数；

最后分析单调性，

法一，基本函数法，令(g(x)=lncfrac{1+x}{1-x}=ln(-1-cfrac{2}{x-1}))，由于(u=-1-cfrac{2}{x-1})为增函数，

所以函数(g(x))为增函数，故函数(f(x)=g(x)+sinx)为((-1，1))上的增函数，

法二，导数法，(f'(x)=cfrac{2}{1-x^2}+cosx>0)，故函数(f(x))为((-1，1))上的增函数，到此需要的性质基本备齐了，

由(f(a-2)+f(a^2-4)<0)，变换得到(f(a-2)<-f(a^2-4)=f(4-a^2))，

由定义域和单调性得到以下不等式组：

(egin{cases}-1<a-2<1\ -1<a^2-4<1 \a-2<4-a^2 end{cases})，解得(sqrt{3}<a<2)，故选(A)。

例3【2019高三理科数学第二次月考第9题】函数(f(x)=ln(|x|-1)-log_{0.5}(x^2+1))，则使得不等式(f(x)-f(2x-1)<0)成立的(x)的取值范围是【】

$A.(1，+infty)$

$B.(-infty，-frac{1}{3})$

$C.(-infty，-frac{1}{3})cup (1，+infty)$

$D.(-infty，-1)cup (1，+infty)$

分析：由(|x|-1>0)得到定义域((-infty，-1)cup (1，+infty))；

由于(y=ln(|x|-1))为偶函数，(y=-log_{0.5}(x^2+1))为偶函数，【两个组成部分】

所以(f(x))为偶函数；【整体】

以下主要讨论单调性，先考虑(x>1)的情形，

由于(x>1)时(f(x)=ln(x-1)-log_{0.5}(x^2+1))，

其中(y=ln(x-1))在区间((1，+infty))上单调递增，(y=log_{0.5}(x^2+1))在区间((1，+infty))上单调递减，

故(f(x)=ln(x-1)-log_{0.5}(x^2+1))区间((1，+infty))上单调递增，

又由于其为偶函数，这样可知((-infty，-1))上单调递减，

由不等式(f(x)-f(2x-1)<0)等价于(f(|x|)<f(|2x-1|))，

其在区间((1，+infty))上单调递增，

由定义域和单调性二者限制得到，(left{egin{array}{l}{|x|>1}\{|2x-1|>1}\{|x|<|2x-1|}end{array} ight.)

上式等价于(left{egin{array}{l}{|x|>1①}\{|x|<|2x-1|②}end{array} ight.)

解①得到，(x<-1)或(x>1)；

解②，两边同时平方，去掉绝对值符号，得到(x<cfrac{1}{3})或(x>1)；

二者求交集得到，(x<-1)或(x>1)，故选(D)。

综合应用

函数的性质需要我们自己总结归纳出来，并主动应用；

例4已知函数(f(x)=cfrac{a}{a^2-1}(a^x-cfrac{1}{a^x})(xin R，a>0，a eq 1))

（1）求函数(f(x))的单调性；

分析：我们先分析函数中的部分，(g(x)=a^x-cfrac{1}{a^x}=a^x-a^{-x})，

故(g(-x)=-g(x))，即函数(g(x))为奇函数，故求解如下，

（1）(f(x)=cfrac{a}{a^2-1}cdot g(x))，

(f(-x)=cfrac{a}{a^2-1}cdot g(-x)=-cfrac{a}{a^2-1}cdot g(x)=-f(x))，

即函数(f(x))为奇函数，我们先重点分析(xin [0，+infty))上的单调性，

①当(a>1)时，(a^2-1>0)，则(cfrac{a}{a^2-1}>0)，(lna>0)

(f'(x)=cfrac{a}{a^2-1}(a^xcdot lna-a^{-x}cdot (-x)'cdot lna))

(=cfrac{a}{a^2-1}cdot lnacdot (a^x+a^{-x})>0)，

则函数(f(x))在([0，+infty))上单调递增，

由函数为奇函数，则可知(f(x))在((-infty，+infty))上单调递增；

②当(0<a<1)时，(a^2-1<0)，则(cfrac{a}{a^2-1}<0)，(lna<0)

(f'(x)=cfrac{a}{a^2-1}(a^xcdot lna-a^{-x}cdot (-x)'cdot lna))

(=cfrac{a}{a^2-1}cdot lnacdot (a^x+a^{-x})>0)，

则函数(f(x))在([0，+infty))上单调递增，

由函数为奇函数，则可知(f(x))在((-infty，+infty))上单调递增；

综上可知，不论(a)为何值，函数(f(x))在((-infty，+infty))上单调递增；

（2）若(f(1-m)+f(1-m^2)<0)，求实数(m)的取值范围；

分析：先将不等式转化为(f(1-m)<-f(1-m^2))，又函数(f(x))为奇函数，则(-f(1-m^2)=f(m^2-1))，

则(f(1-m)<f(m^2-1))，由单调性可知，(1-m<m^2-1)，

即(m^2+m-2>0)，故所求取值范围为((-infty，-2)cup(1，+infty))。

水平线情形

当函数图像中有一部分为水平线时，常常需要分类讨论。

例14【2019福州质检】设函数(f(x)=left{egin{array}{l}{0，xleqslant 0}\{e^x-e^{-x}，x>0}end{array} ight.)，则满足(f(x^2-2)>f(x))的(x)的取值范围是【】

$A.(-infty，-1)cup(2，+infty)$

$B.(-infty，-sqrt{2})cup(sqrt{2}，+infty)$

$C.(-infty，-sqrt{2})cup(2，+infty)$

$D.(-infty，-1)cup(sqrt{2}，+infty)$

分析：做出分段函数的图像如下，

则由(f(x^2-2)>f(x))得到，

(left{egin{array}{l}{xleqslant 0}\{x^2-2>0;;;}end{array} ight.) 或 (left{egin{array}{l}{x> 0}\{x^2-2>x}end{array} ight.)

解得(left{egin{array}{l}{xleqslant 0}\{x<-sqrt{2}，或x>sqrt{2};;; }end{array} ight.) 或 (left{egin{array}{l}{x>0}\{x<-1或x>2}end{array} ight.)

即(x<-sqrt{2})或(x>2)，故选(C).

例7已知函数(f(x)=egin{cases}-1,&xge0\x^2-1,&x<0end{cases}),则满足不等式(f(3-x^2)<f(2x))的取值范围是【】

$A.[-3，0)$ $B.(-3，0)$ $C.(-3，1)$ $D.(-3，-sqrt{3})$

分析：做出函数的图像，由图像可知，

原不等式等价于(egin{cases}3-x^2ge0\2x<0end{cases})或(egin{cases}3-x^2<0\2x<0\3-x^2>2xend{cases}).

解得(-sqrt{3}leq x<0)或(-3<x<-sqrt{3}),故(-3<x<0)，选(B)。

例16【利用分段函数图像解不等式】若函数(f(x)=cfrac{x+1}{|x|+1}，xin R)，求解不等式(f(x^2-2x)<f(3x-4))的解集。

分析：先分类讨论，去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，

当(xge 0)时，(f(x)=1) ，当(x<0)时，(f(x)=cfrac{x+1}{-x+1}=-1-cfrac{2}{x-1})，

即(f(x)=egin{cases} 1 &xge 0 \ -1-cfrac{2}{x-1} &x<0end{cases})，

则由图可知，原不等式等价于(egin{cases} &x^2-2x< 0 \ &3x-4ge 0end{cases})或(egin{cases} &x^2-2x< 3x-4\ &3x-4leq 0end{cases})

解得(egin{cases} &0<x< 2 \ &xge cfrac{4}{3} end{cases})或(egin{cases} &1<x< 4 \ &xleq cfrac{4}{3}end{cases})，

即(cfrac{4}{3}leq x <2或1<xleq cfrac{4}{3})，综合得到(xin (1，2))。

待归类整理

例16【2020届高三文科练习题】【2019石家庄一模】已知奇函数(f(x))在(x>0)时单调递增，且(f(1)=0)，若(f(x-1)>0)，则(x)的取值范围是【】

$A.{xmid 0< x<1或x >2}$

$B.{xmid x<0或x>2}$

$C.{xmid x<0或x >3}$

$D.{xmid x< -1或x >1}$

分析：由于奇函数(f(x))在((0，+infty))上单调递增，且(f(1)=0)，

所以函数(f(x))在((-infty，0))上单调递增，且(f(-1)=0)，

由不等式(f(x-1)>0)得到(f(x-1)>f(1))，或(f(x-1)>f(-1))，

故(x-1>1)或者(0>x-1>-1)，

解得(x>2)或(0<x<1)，故选(A)。

例16【2020届高三文科练习题】设函数(f(x)=ln(1+|x|)-cfrac{1}{1+x^2})，则使得(f(x)>f(2x-1))成立的(x)的取值范围是___________。

分析：由(f(x)=ln(1+|x|)-cfrac{1}{1+x^2})，可知(f(x))为偶函数，

故由(f(x)>f(2x-1))变形为(f(|x|)>f(|2x-1|))，

当(xgeqslant 0)时，(f(x)=ln(1+x)-cfrac{1}{1+x^2})，

所以(f(x))在区间((0，+infty))上是增函数，

由(f(|x|)>f(|2x-1|))，得到(|x|>|2x-1|)，

两边平方，得到(3x^2-4x+1<0)，解得(cfrac{1}{3}<x<1)，故((cfrac{1}{3}，1))

例16【变式】设函数(f(x)=e^{1+|x|}-cfrac{1}{1+x^2})，则使得(f(x)>f(2x-1))成立的(x)的取值范围是___________。

分析：解析过程和结果都同上。

例17已知函数(f(x)=left{egin{array}{l}{2^{-x}+1，xleqslant 0}\{-sqrt{x}，x>0}end{array} ight.)，则(f(x+1)-9leqslant 0)的解集为__________。

分析：由题目可知，(f(x+1)=left{egin{array}{l}{2^{-(x+1)}+1，x+1leqslant 0}\{-sqrt{x+1}，x+1>0}end{array} ight.)

即(f(x+1)=left{egin{array}{l}{2^{-(x+1)}+1，xleqslant -1}\{-sqrt{x+1}，x>-1}end{array} ight.)

故(f(x+1)-9leqslant 0)等价于以下两个不等式组：

(①left{egin{array}{l}{xleqslant -1}\{2^{-(x+1)}+1-9leqslant 0}end{array} ight.) 或(②left{egin{array}{l}{x>-1}\{-sqrt{x+1}-9leqslant 0}end{array} ight.)

解①得到，(-4leqslant xleqslant -1)；解②得到，(x>-1)；

综上可知，解集为([-4，+infty))。

注意：无理不等式(-sqrt{x+1}-9leqslant 0)的解法；变形为(-sqrt{x+1}leqslant 9)后，不能两边平方，此时只需要满足(x+1geqslant 0)让根式有意义即可；即其解集为([-1,+infty))；

例16已知函数(f(x)=-x^3+8x-4e^x+cfrac{4}{e^x})，其中(e)为自然对数的底数，若(f(a-1)+f(2a^2)leqslant0)，则实数(a)的取值范围是【】

$A.(-infty，-1]$ $B.[cfrac{1}{2}，+infty)$ $C.[-1，cfrac{1}{2}]$ $D.(-infty，-1]cup[cfrac{1}{2}，+infty)$

分析：(f(x)=-x^3+8x-4e^x+cfrac{4}{e^x}=-x^3+8x-4(e^x-e^{-x}))，

由于(y=-x^3+8x)为奇函数，(y=-4(e^x-e^{-x}))为奇函数，

故(f(x))为奇函数，且函数的定义域为(R)，

又由于(f'(x)=-3x^2+8-4e^x-4e^{-x}=-3x^2+8-4(e^x+cfrac{1}{e^x}))

则(f'(x)leqslant -3x^2+8-4 imes 2sqrt{e^x imes cfrac{1}{e^x}}-3x^2leqslant 0)

故(f(x))在((-infty，+infty))上单调递减，

则由(f(a-1)+f(2a^2)leqslant0)，变形得到(f(a-1)leqslant -f(2a^2)=f(-2a^2))，

故得到(a-1geqslant -2a^2)，即(2a^2+a-1geqslant 0)，

解得(aleqslant -1)或(ageqslant cfrac{1}{2})，故选(D)。