动态规划求解最长公共子序列问题

LCS是求两个字符串，最长的公共部分，中间可以间隔其他的元素。例如，字符串s1=''mzjawxu'',s2=''xmjyauz'',仔细分析下，大体可以看出最长公共子序列是''mjau'',我们需要一套科学严格的方法来求解。这个问题是DP问题（动态规划问题）。动态规划问题：就是当前问题的求解依赖于上一个子问题，上一个子问题又依赖于前一个子问题，子问题无限递归。

 

记:

 

Xi=﹤x1，⋯，xi﹥即X序列的前i个字符 (1≤i≤m)（前缀）

Yj=﹤y1，⋯，yj﹥即Y序列的前j个字符 (1≤j≤n)（前缀）

 

假定Z=﹤z1，⋯，zk﹥∈LCS(X , Y)。

 

• 若xm=yn（最后一个字符相同），则不难用反证法证明：该字符必是X与Y的任一最长公共子序列Z（设长度为k）的最后一个字符，即有zk = xm = yn 且显然有Zk-1∈LCS(Xm-1 , Yn-1)即Z的前缀Zk-1是Xm-1与Yn-1的最长公共子序列。此时，问题化归成求Xm-1与Yn-1的LCS（LCS(X , Y)的长度等于LCS(Xm-1 , Yn-1)的长度加1）。

• 若xm≠yn，则亦不难用反证法证明：要么Z∈LCS(Xm-1, Y)，要么Z∈LCS(X , Yn-1)。由于zk≠xm与zk≠yn其中至少有一个必成立，若zk≠xm则有Z∈LCS(Xm-1 , Y)，类似的，若zk≠yn 则有Z∈LCS(X , Yn-1)。此时，问题化归成求Xm-1与Y的LCS及X与Yn-1的LCS。LCS(X , Y)的长度为：max{LCS(Xm-1 , Y)的长度, LCS(X , Yn-1)的长度}。

       （注释：

         举个例子

         X=m z j a w x u

         Y=x m j y a u z

         因为X7!=Y7所以X,Y两个字符串的最大公共序列应该在

       X=m z j a w x u                            X‘=m z j a w x

       Y’=x,m,j,y,a,u                    或        Y=x m j y a u Z 中产生，即求LCS（Xm,Ym-1）和LCS（Xm-1，ym）中产生）

 

由于上述当xm≠yn的情况中，求LCS(Xm-1 , Y)的长度与LCS(X , Yn-1)的长度，这两个问题不是相互独立的：两者都需要求LCS(Xm-1，Yn-1)的长度。另外两个序列的LCS中包含了两个序列的前缀的LCS，故问题具有最优子结构性质考虑用动态规划法。

 

也就是说，解决这个LCS问题，你要求三个方面的东西：1、LCS（Xm-1，Yn-1）+1；2、LCS（Xm-1，Y），LCS（X，Yn-1）；3、max{LCS（Xm-1，Y），LCS（X，Yn-1）}。

最长公共子序列的结构有如下表示：

设序列X=<x₁, x₂, …, x_m>和Y=<y₁, y₂, …, y_n>的一个最长公共子序列Z=<z₁, z₂, …, z_k>，则：

1. 若x_m=y_n，则z_k=x_m=y_n且Z_k-1是X_m-1和Y_n-1的最长公共子序列；
2. 若x_m≠y_n且z_k≠x_{m ，}则Z是X_m-1和Y的最长公共子序列；
3. 若x_m≠y_n且z_k≠y_n ，则Z是X和Y_n-1的最长公共子序列。

其中X_m-1=<x₁, x₂, …, x_m-1>，Y_n-1=<y₁, y₂, …, y_n-1>，Z_k-1=<z₁, z₂, …, z_k-1>。

  上面的二维数组，黑色箭头代表找到了一个相同公共元素，这个元素应该在公共子序列中，这个元素和前面元素的最长子序列的并集，组成整个最长的子序列。每个元素的值表示每个字符串之间的最长公共子序列的长度，假设当前元素的位置（Xi,Yj）,如果横坐标和纵坐标的字符相等，那么它的值等于(Xi-1,Yj-1)+1,如果横坐标和纵坐标的字符不相等，那么它的值等于max((Xi-1,Yj),(Xi,Yj-1)),这个二维数组完全映射了上面的那个递推公式。把所有子字符串的匹配的可能全部展示出来，从X，Y的字符串的最开始，递归后面的字符串。最后得到这个二维数组，数字最大的就是最长子序列的长度。

#include <stdio.h>

  2

  3 int data[8][8]={0};                 //初始化为全是0

  4 char *s1="mzjawxu";

  5 char *s2="xmjyauz";

  6 void print(int i,int j);

  7 int main(){

  8    int i=1,j=1;

  9    for(i=1;i<8;i++){

 10      for(j=1;j<8;j++){

 11         if(*(s1+i-1)==*(s2+j-1)){     //如果两个元素相同，那么这个元素的值等于对角的元素的值加一

 12            data[i][j]=data[i-1][j-1]+1;

 13         }else{                        //如果两个元素不同，取左侧元素和上方元素的最大值，这个值也就是Xi-1,Yj和Xi,Yj-1公共字串的最大长度

 14            data[i][j]=data[i][j-1]>data[i-1][j]?data[i][j-1]:data[i-1][j];

 15         }

 16

 17      }

 18    }

 19    print(i,j);

 20 }

 21

                            //递归打印最大公共子序列

 22 void print(int i,int j){

 23   if(i==0||j==0)

 24       return;

 25   if(*(s1+i-1)==*(s2+j-1)){

 26     print(i-1,j-1);

 27     printf("%c",*(s1+i-1));

 28   }else if(data[i][j-1]>data[i-1][j]){

 29     print(i,j-1);

 30   }else{

 31     print(i-1,j);

 32   }

 33 }