【题解】[Comet OJ Contest #11 F] arewell【子集卷积】

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题意

给定一无向图，每条边等概率正向、反向、消失，求其成为 DAG 的概率。(nleq 20)。

题解

先算方案数，再算期望。

设 (E(S)) 为点集 (S) 的导出子图的边集大小。枚举入度为 (0) 的点集，得到转移：

[F(S)=sum_{Tsubseteq S,T eq varnothing}(-1)^{|T|-1}2^{E(S)-E(T)-E(S-T)}F(S-T) ]

[dfrac{F(S)}{2^{E(S)}}=sum_{Tsubseteq S,T eq varnothing}dfrac{(-1)^{|T|-1}}{2^{E(T)}}dfrac{F(S-T)}{2^{E(S-T)}} ]

子集卷积。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=21,mod=998244353,inv2=(mod+1)/2;
int f[N][1<<N],g[N][1<<N];
int popc[1<<N],e[1<<N];
int p2[N*N];
int b[N];
int n,m;
int p[1<<N];
int qpow(int x,int y){
    int ans=1;
    while(y){
        if(y&1)ans=ans*1ll*x%mod;
        x=x*1ll*x%mod;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
void fwt(int *a,int m,int tp){
    for(int i=1;i<1<<m;i<<=1){
        for(int j=0;j<1<<m;j+=i<<1){
            for(int k=0;k<i;k++){
                int x=a[j+k],y=a[i+j+k];
                // cerr<<". "<<j+k<<" "<<i+j+k<<endl;
                a[j+k]=x+y;a[i+j+k]=x-y;
                a[j+k]>=mod&&(a[j+k]-=mod);
                a[i+j+k]<0&&(a[i+j+k]+=mod);
            }
        }
    }
    if(tp==-1){
        int q=qpow(1<<m,mod-2);
        for(int i=0;i<1<<m;i++)
            a[i]=a[i]*1ll*q%mod;
    }
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<m;i++){
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        --u,--v;
        b[u]|=1<<v;
        b[v]|=1<<u;
    }
    p2[0]=1;for(int i=1;i<=n*n;i++)p2[i]=p2[i-1]*1ll*inv2%mod;
    // g[0][0]=1;
    for(int i=1;i<1<<n;i++){
        int k=i^(i&-i);
        int t=0;while((i&-i)>>t)++t;--t;
        popc[i]=popc[k]+1;
        e[i]=e[k]+popc[b[t]&k];
        g[popc[i]][i]=(popc[i]&1)?p2[e[i]]:mod-p2[e[i]];
    }
    for(int i=0;i<=n;i++)fwt(g[i],n,1);
    f[0][0]=1;
    fwt(f[0],n,1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=i;j++){
            for(int k=0;k<1<<n;k++)
                f[i][k]=(f[i][k]+f[j][k]*1ll*g[i-j][k])%mod;
        }
    }
    fwt(f[n],n,-1);
    cout<<f[n][(1<<n)-1]*1ll*qpow((mod+1)/3*2,m)%mod;
}